Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de d^2 yd x^2 nesse ponto.
x=2 cos (t), y=2 sen(t), t=pi4

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e o valor de tfracd^2ydx^2 para a curva dada por x=2cos t, y=2sin t no ponto em que t=pi/4. O conteúdo matemático usado aqui é derivada de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = -2sin t,
dydt = 2cos t

Passo 3

Em seguida, usamos a fórmula do declive da reta tangente em parametrização:
dydx = dydtdxdt = 2cos t-2sin t = -cot t

Passo 4

Agora avaliamos em t=pi/4 para obter o ponto e o declive:
x(tfracpi4) = 2cos(tfracpi4) = raiz2,
y(tfracpi4) = 2sin(tfracpi4) = raiz2,
m = -cot(tfracpi4) = -1

Passo 5

Com o ponto (raiz2,raiz2) e o declive -1, montamos a reta tangente:
y - raiz2 = -1l(x - raiz2r)
que simplifica para
y = -x + 2raiz2

Passo 6

Por fim, para a segunda derivada usamos:
d^2ydx^2 = ddtl(dydxr) / dxdt
Como dydx = -cot t, temos
ddt(-cot t) = csc^2 t
e dxdt = -2sin t. Logo,
d^2ydx^2 = csc^2 t-2sin t = -12sin^3 t
Avaliado em t=pi/4, com sin(pi/4)=tfracraiz22, resulta em -raiz2.

Resposta

Equação da reta tangente: y = -x + 2raiz2; valor de tfracd^2ydx^2 em t=pi/4: -raiz2.

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