Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado
. Encontre também o valor de
nesse ponto.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente e o valor de
para a curva dada por
,
no ponto em que
. O conteúdo matemático usado aqui é derivada de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 3
Em seguida, usamos a fórmula do declive da reta tangente em parametrização:
Passo 4
Agora avaliamos em
para obter o ponto e o declive:
Passo 5
Com o ponto
e o declive
, montamos a reta tangente:
que simplifica para
Passo 6
Por fim, para a segunda derivada usamos:
Como
, temos
e
. Logo,
Avaliado em
, com
, resulta em
.
Resposta
Equação da reta tangente:
; valor de
em
:
.