Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de \frac{d^{2} y}{d x^{2}} nesse ponto.
x=t+e^{t}, \quad y=1-e^{t}, \quad t=0

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas paramétricas e o valor de t onde queremos a reta tangente e a segunda derivada:
  • x(t)=t+e^{t}.
  • y(t)=1-e^{t}.
  • Ponto pedido: t=0.
O que é pedido:
  1. Uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t=0.
  2. O valor de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as coordenadas do ponto da curva quando t=0. Lembrando que e^{0}=1.
x(0)=0+e^{0}=1,\qquad y(0)=1-e^{0}=0.
Portanto o ponto onde queremos a tangente é (1,0).

Passo 3

Explicando a ideia para obter a inclinação da reta tangente: para curvas dadas por parâmetros t (curvas paramétricas), a inclinação \dfrac{dy}{dx} é obtida pela razão entre as derivadas em relação a t:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Por que isso vale? Intuitivamente, quando t muda um pouco, x muda de acordo com dx/dt e y muda de acordo com dy/dt; a taxa de variação de y em relação a x é a razão dessas duas taxas (regra da cadeia aplicada: dy/dx=(dy/dt)\cdot(dt/dx) e dt/dx=1/(dx/dt)).

Passo 4

Calcular dx/dt e dy/dt. Derivada de e^{t} é e^{t}.
\frac{dx}{dt}=1+e^{t},\qquad \frac{dy}{dt}=-e^{t}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula da Passo 3:
\frac{dy}{dx}=\frac{-e^{t}}{1+e^{t}}.
Avaliar em t=0:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0}=\frac{-e^{0}}{1+e^{0}}=\frac{-1}{1+1}=-\tfrac{1}{2}.
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente no ponto (1,0).

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive: y-y_{0}=m(x-x_{0}), com (x_{0},y_{0})=(1,0) e m=-\tfrac{1}{2}.
y-0=-\tfrac{1}{2}(x-1).
Simplificando:
y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Agora vamos obter a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Para curvas paramétricas usa-se:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}.
Explicação rápida: aplicar a derivada em relação a x é o mesmo que derivar em relação a t e depois dividir por dx/dt (regra da cadeia).

Passo 8

Calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right). Já temos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{e^{t}}{1+e^{t}}. Para derivar, é prático usar u=e^{t}, então a função fica -\dfrac{u}{1+u} e du/dt=u. Derivando em relação a u:
\frac{d}{du}\left(-\frac{u}{1+u}\right)=-\frac{(1+u)-u}{(1+u)^{2}}=-\frac{1}{(1+u)^{2}}.
Multiplicando por du/dt=e^{t} obtemos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=-\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}.

Passo 9

Agora aplicar a fórmula do Passo 7 dividindo por dx/dt=1+e^{t}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{-\dfrac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}}{1+e^{t}}=-\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{3}}.
Avaliar em t=0:
\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{t=0}=-\frac{e^{0}}{(1+e^{0})^{3}}=-\frac{1}{(1+1)^{3}}=-\frac{1}{8}.

Passo 10

Resumo final: a reta tangente no ponto correspondente a t=0 é y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2} e a segunda derivada nesse ponto vale -\tfrac{1}{8}.

Resposta

y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\tfrac{1}{8}

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