Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o valor de \frac{d^{2} y}{d x^{2}} nesse ponto. x=t+e^{t}, \quad y=1-e^{t}, \quad t=0
Passo 1
O enunciado nos dá as curvas paramétricas e o valor de t onde queremos a reta tangente e a segunda derivada:
x(t)=t+e^{t}.
y(t)=1-e^{t}.
Ponto pedido: t=0.
O que é pedido:
Uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t=0.
O valor de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} nesse mesmo ponto.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as coordenadas do ponto da curva quando t=0. Lembrando que e^{0}=1.
x(0)=0+e^{0}=1,\qquad y(0)=1-e^{0}=0.
Portanto o ponto onde queremos a tangente é (1,0).
Passo 3
Explicando a ideia para obter a inclinação da reta tangente: para curvas dadas por parâmetros t (curvas paramétricas), a inclinação \dfrac{dy}{dx} é obtida pela razão entre as derivadas em relação a t:
Por que isso vale? Intuitivamente, quando t muda um pouco, x muda de acordo com dx/dt e y muda de acordo com dy/dt; a taxa de variação de y em relação a x é a razão dessas duas taxas (regra da cadeia aplicada: dy/dx=(dy/dt)\cdot(dt/dx) e dt/dx=1/(dx/dt)).
Passo 4
Calcular dx/dt e dy/dt. Derivada de e^{t} é e^{t}.
Explicação rápida: aplicar a derivada em relação a x é o mesmo que derivar em relação a t e depois dividir por dx/dt (regra da cadeia).
Passo 8
Calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right). Já temos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{e^{t}}{1+e^{t}}. Para derivar, é prático usar u=e^{t}, então a função fica -\dfrac{u}{1+u} e du/dt=u. Derivando em relação a u: