Resolva por fa tora gão lu
\begin{aligned} & 5 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\ & 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=-7 \\\ & x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=-5 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{aligned} & 5x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\ & 3x_{1}+x_{2}+4x_{3}=-7,\\\ & x_{1}+x_{2}+3x_{3}=-5, \end{aligned}
usando fatoração LU (isto é, encontrar matrizes L e U tais que A=LU, com A sendo a matriz dos coeficientes, e depois resolver LUx=b). Informações dadas relevantes:
A=\begin{pmatrix}5&2&1\\[4pt]3&1&4\\[4pt]1&1&3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-7\\[4pt]-5\end{pmatrix}.
As perguntas implícitas são: (1) obter a fatoração A=LU (sem pivoteamento, usando Doolittle); (2) usar L e U para resolver Ax=b e encontrar \,x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}.]

Passo 2

Vou usar o método de Doolittle para obter L e U. Explicando a ideia (passo a passo, como num gabarito mastigado):
  • Procuramos L triangular inferior com 1's na diagonal e U triangular superior tais que A=LU.
  • As fórmulas básicas (para uma matriz 3\times3) são: \begin{aligned} &U_{1j}=A_{1j}\quad(j=1,2,3),\\[4pt] &L_{i1}=\dfrac{A_{i1}}{U_{11}}\quad(i=2,3), \end{aligned}depois \begin{aligned} &U_{2j}=A_{2j}-L_{21}U_{1j}\quad(j=2,3),\\[4pt] &L_{32}=\dfrac{A_{32}-L_{31}U_{12}}{U_{22}}, \end{aligned}e finalmente U_{33}=A_{33}-L_{31}U_{13}-L_{32}U_{23}.
Vou aplicar essas fórmulas com cuidado e mostrar as contas.]

Passo 3

Primeiro bloco: pegamos a primeira linha de U e os multiplicadores da coluna 1 de L.
U_{11}=A_{11}=5,\qquad U_{12}=A_{12}=2,\qquad U_{13}=A_{13}=1.
Agora os elementos L_{21} e L_{31}:
L_{21}=\frac{A_{21}}{U_{11}}=\frac{3}{5},\qquad L_{31}=\frac{A_{31}}{U_{11}}=\frac{1}{5}.
Anote mental: L tem diagonal 1, então L_{11}=L_{22}=L_{33}=1.

Passo 4

Agora computamos os elementos da segunda linha de U:
\begin{aligned} U_{22}&=A_{22}-L_{21}U_{12}=1-\frac{3}{5}\cdot 2 =1-\frac{6}{5}= -\frac{1}{5},\\[6pt] U_{23}&=A_{23}-L_{21}U_{13}=4-\frac{3}{5}\cdot 1 =4-\frac{3}{5}=\frac{17}{5}. \end{aligned}]

Passo 5

Calculamos L_{32} (multiplicador para eliminar o elemento abaixo de U_{22}):
\text{numerador}=A_{32}-L_{31}U_{12}=1-\frac{1}{5}\cdot 2=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5},
L_{32}=\frac{\text{numerador}}{U_{22}}=\frac{3/5}{-1/5}=-3.

Passo 6

Agora o último elemento de U, que usa os multiplicadores já encontrados:
U_{33}=A_{33}-L_{31}U_{13}-L_{32}U_{23} =3-\frac{1}{5}\cdot 1-(-3)\cdot\frac{17}{5}.
Calcule passo a passo:
\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5},\qquad (-3)\cdot\frac{17}{5}=-\frac{51}{5},
então
U_{33}=3-\frac{1}{5}-\Big(-\frac{51}{5}\Big)=3-\frac{1}{5}+\frac{51}{5} =3+\frac{50}{5}=3+10=13.

Passo 7

Vamos escrever L e U completos (mostro para você decorar o formato):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{3}{5} & 1 & 0\\[4pt] \frac{1}{5} & -3 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -\dfrac{1}{5} & \dfrac{17}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 13 \end{pmatrix}.
Se quiser conferir (rápido): multiplicando L por U retorna a matriz A. Isso confirma a fatoração.]

Passo 8

Agora resolvemos Ax=b via LUx=b. Primeiro resolvemos Ly=b por substituição direta (forward substitution). Escrevendo y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}:
\begin{aligned} y_{1}&=b_{1}=0,\\[4pt] y_{2}&=b_{2}-L_{21}y_{1}=-7-\frac{3}{5}\cdot 0=-7,\\[4pt] y_{3}&=b_{3}-L_{31}y_{1}-L_{32}y_{2}=-5-\frac{1}{5}\cdot 0-(-3)\cdot(-7). \end{aligned}
Calcule y_{3}:
(-3)\cdot(-7)=21,\qquad y_{3}=-5-21=-26.
Portanto
y=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-7\\[4pt]-26\end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora resolvemos Ux=y por back substitution (substituição reversa). Escrevendo x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}:
  1. Da terceira linha:
U_{33}x_{3}=y_{3}\quad\Rightarrow\quad 13x_{3}=-26\quad\Rightarrow\quad x_{3}=-2.
  1. Da segunda linha:
U_{22}x_{2}+U_{23}x_{3}=y_{2}\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{5}x_{2}+\frac{17}{5}x_{3}=-7.
Substituindo x_{3}=-2:
-\frac{1}{5}x_{2}+\frac{17}{5}\cdot(-2)=-7\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{5}x_{2}-\frac{34}{5}=-7.
Isolando x_{2}:
-\frac{1}{5}x_{2}=-7+\frac{34}{5}=-\frac{35}{5}+\frac{34}{5}=-\frac{1}{5},
logo
x_{2}=1.
  1. Da primeira linha:
5x_{1}+2x_{2}+x_{3}=y_{1}=0.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=-2:
5x_{1}+2\cdot 1+(-2)=0\quad\Rightarrow\quad 5x_{1}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.

Passo 10

Resumo numérico final (já calculado e verificado passo a passo):
x_{1}=0,\qquad x_{2}=1,\qquad x_{3}=-2.

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=1
x_{3}=-2

Exercícios relacionados