Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto p dado:
f(x)=x e^x, p=(0,0).

Passo 1

A questão pede a reta tangente à curva definida por f(x)=x e^{x} no ponto p=(0,0). O conteúdo é derivadas e a fórmula da reta tangente, e vamos precisar usar a regra do produto para derivar e a equação ponto-declive.

Passo 2

Para achar a derivada f’(x), aplicamos a regra do produto em f(x)=x e^{x}. A regra diz que (u v)’=u’ v+u v’. Aqui u=x e v=e^{x}, logo
f'(x)=1cdot e^x+xcdot e^x=e^x+x e^x

Passo 3

Avaliamo f’(x) em x=0 para obter o declive da reta tangente. Como e^{0}=1, temos f’(0)=1+0=1.

Passo 4

Usamos a equação da reta tangente em ponto (x_{0},y_{0}) com declive m: y-y_{0}=m(x-x_{0}). Aqui (x_{0},y_{0})=(0,0) e m=1, então
y-0=1,(x-0)

Passo 5

Simplificando, a reta tangente é y=x.

Resposta

y=x

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