Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto
dado:
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Passo 1
A questão pede a reta tangente à curva definida por f(x)=x e^{x} no ponto p=(0,0). O conteúdo é derivadas e a fórmula da reta tangente, e vamos precisar usar a regra do produto para derivar e a equação ponto-declive.
Passo 2
Para achar a derivada f’(x), aplicamos a regra do produto em f(x)=x e^{x}. A regra diz que (u v)’=u’ v+u v’. Aqui u=x e v=e^{x}, logo
Passo 3
Avaliamo f’(x) em x=0 para obter o declive da reta tangente. Como e^{0}=1, temos f’(0)=1+0=1.
Passo 4
Usamos a equação da reta tangente em ponto (x_{0},y_{0}) com declive m: y-y_{0}=m(x-x_{0}). Aqui (x_{0},y_{0})=(0,0) e m=1, então
Passo 5
Simplificando, a reta tangente é y=x.
Resposta
y=x