Considere a região
do plano delimitada pelas curvas
e o sólido
obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Determine a área de
.
Determine a área de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região
que está delimitada pelas curvas
e
. Além disso, menciona um sólido
obtido pela rotação dessa região em torno da reta
, mas nosso foco principal aqui é encontrar a área de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso ajuda a determinar os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo essa equação para
:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região
:
-
é uma parábola voltada para cima, deslocada 1 unidade para cima. -
é uma parábola voltada para baixo, com vértice em .
Entre
e
, a curva
está acima de
, formando a região
.
Passo 5
A área entre duas curvas pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo, e
são os limites de integração.
Passo 6
Aqui,
e
, com
e
.
Então, a área será:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área definida.
Passo 9
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.