Considere a região R do plano delimitada pelas curvas y=x^2+1, y=9-x^2 e o sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y=-1.
Determine a área de R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região R que está delimitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = 9 - x^2. Além disso, menciona um sólido S obtido pela rotação dessa região em torno da reta y = -1, mas nosso foco principal aqui é encontrar a área de R. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso ajuda a determinar os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
x^2 + 1 = 9 - x^2

Passo 3

Resolvendo essa equação para x:
x^2 + x^2 + 1 = 9 2x^2 + 1 = 9 2x^2 = 8 x^2 = 4 x = pm 2
Então, as curvas se cruzam nos pontos x = -2 e x = 2.

Passo 4

Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região R:
  • y = x^2 + 1 é uma parábola voltada para cima, deslocada 1 unidade para cima.
  • y = 9 - x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em y = 9.
Entre x = -2 e x = 2, a curva y = 9 - x^2 está acima de y = x^2 + 1, formando a região R.

Passo 5

A área entre duas curvas pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Área = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx Á
Onde f(x) é a função de cima e g(x) é a função de baixo, e [a, b] são os limites de integração.

Passo 6

Aqui, f(x) = 9 - x^2 e g(x) = x^2 + 1, com a = -2 e b = 2.
Então, a área será:
Área = integral-2^2 ( (9 - x^2) - (x^2 + 1) ) dx Á

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
(9 - x^2) - (x^2 + 1) = 9 - x^2 - x^2 - 1 = 8 - 2x^2
Assim, a integral fica:
Área = integral-2^2 (8 - 2x^2) , dx Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integral (8 - 2x^2) , dx = 8x - 23x^3 + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área definida.

Passo 9

Agora, avaliamos a integral definida de -2 a 2:
Área = [ 8x - 23x^3 ]-2^2 = ( 8(2) - 23(2)^3 ) - ( 8(-2) - 23(-2)^3 ) Á
Calculando cada termo:
Para x = 2:
8(2) - 23(8) = 16 - 163 = 483 - 163 = 323
Para x = -2:
8(-2) - 23(-8) = -16 + 163 = -483 + 163 = -323

Passo 10

Subtraindo os valores:
323 - ( -323 ) = 323 + 323 = 643

Resposta

A área da região R é 643 unidades de área.

Exercícios relacionados