Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Encontre integral xraizx^2+4 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral xraizx^2+4 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada para simplificar a integral e então integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observando o denominador raizx^2+4, uma boa escolha é definir u = x^2 + 4. Isso porque a derivada de u em relação a x vai aparecer na integral.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Perceba que na nossa integral original temos x , dx, que podemos isolar:
x , dx = du2

Passo 4

Agora, substituímos u e x , dx na integral original:
integral xraizx^2+4 , dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 , du
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/2 em relação a u:
12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot ( 2u^1/2 ) + C = u^1/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para x:
u^1/2 = raizx^2 + 4
Então, a solução da integral é:
raizx^2 + 4 + C

Resposta

A integral integral xraizx^2+4 , dx é igual a raizx^2 + 4 + C.

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