Encontre uma equação da reta tangente às curvas por dois métodos:
a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro.
(a) x=1+ln (t), y=t^2+2 ; (1,3).
(b) x=1+raizt, y=e^t^2 ; (2, e)

Passo 1

Neste exercício vamos achar as retas tangentes a duas curvas dadas em forma paramétrica, usando dois métodos: (a) derivação direta em função de t (sem eliminar o parâmetro) e (b) primeiro eliminando t para obter y(x) e depois derivando. Nos casos (a) e (b) temos um ponto específico onde a reta tangente passa.

Passo 2

Para a curva (a) x=1+ln(t), y=t^2+2 no ponto (1,3), usamos o método paramétrico: calculamos dxdt=1t e dydt=2t. A inclinação da reta é dydx=dy/dtdx/dt=2t1/t=2t^2. Como no ponto (1,3) temos x=1+ln t=1implies t=1, a inclinação é 2. Logo a reta é
y-3=2(x-1).

Passo 3

Para a mesma curva (a), eliminamos t: de x=1+ln t vem t=e^x-1. Substituindo em y obtemos
y=(e^x-1)^2+2=e^2(x-1)+2
Derivando em relação a x:
dydx=2e^2(x-1)
No ponto x=1 isso dá 2, e a reta tangente é de novo
y-3=2(x-1)

Passo 4

Para a curva (b) x=1+raizt, y=e^t^2 no ponto (2,e), método paramétrico: dxdt=12raizt e dydt=2t,e^t^2. Então
dydx=2t,e^t^21/(2raizt)=4t^3/2e^t^2

Passo 5

No ponto dado x=2impliesraizt=1implies t=1, vem dydx=4e. A reta é
y-e=4e(x-2)

Passo 6

Eliminando t na curva (b): de x=1+raizt temos raizt=x-1, logo t=(x-1)^2. Substituindo em y
y=e^t^2=e^((x-1)^2)^2=e^(x-1)^4
Derivando:
dydx=e^(x-1)^4cdot4(x-1)^3
Em x=2 isso vale 4e, e a reta tangente volta a ser
y-e=4e(x-2)

Resposta

Para a curva (a) a reta tangente é y-3=2(x-1), ou seja y=2x+1. Para a curva (b) a reta tangente é y-e=4e(x-2), ou seja y=4e,x-7e.

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