Encontre uma equação da reta tangente às curvas por dois métodos:
a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro.
(a)
.
(b)
a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro.
(a)
(b)
Passo 1
Neste exercício vamos achar as retas tangentes a duas curvas dadas em forma paramétrica, usando dois métodos: (a) derivação direta em função de
(sem eliminar o parâmetro) e (b) primeiro eliminando
para obter
e depois derivando. Nos casos (a) e (b) temos um ponto específico onde a reta tangente passa.
Passo 2
Para a curva (a)
,
no ponto
, usamos o método paramétrico: calculamos
e
. A inclinação da reta é
. Como no ponto
temos
, a inclinação é
. Logo a reta é
Passo 3
Para a mesma curva (a), eliminamos
: de
vem
. Substituindo em
obtemos
Derivando em relação a
No ponto
isso dá
, e a reta tangente é de novo
Passo 4
Para a curva (b)
,
no ponto
, método paramétrico:
e
. Então
Passo 5
No ponto dado
, vem
. A reta é
Passo 6
Eliminando
na curva (b): de
temos
, logo
. Substituindo em
Derivando:
Em
isso vale
, e a reta tangente volta a ser
Resposta
Para a curva (a) a reta tangente é
, ou seja
. Para a curva (b) a reta tangente é
, ou seja
.