Exercício 4. Usando regra da cadeia calcule d wd t, onde:
w=x y para x=cos t e y=sen t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dw/dt usando regra da cadeia, onde w = x,y, x = cos t e y = sin t. O conteúdo envolve derivada de funções compostas e produto de funções, e vamos precisar da regra da cadeia para funções de várias variáveis e da derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relação a x e y, e as derivadas de x e y em relação a t. Temos:
partial wpartial x = y, partial wpartial y = x, dxdt = -sin t, dydt = cos t

Passo 3

Em seguida aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que diz que
dwdt = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt

Passo 4

Substituindo os valores que encontramos:
dwdt = y,(-sin t) + x,(cos t) = (sin t)(-sin t) + (cos t)(cos t)

Passo 5

Finalmente, agrupando e usando a identidade trigonométrica cos^2 t - sin^2 t = cos(2t):
dwdt = cos^2 t - sin^2 t = cos(2t)

Resposta

cos(2t)

Exercícios relacionados