4^ a Questão Calcule os limites abaixo. Use a regra L’Hôspital, quando necessário, indicando qual o tipo da ideterminação:
lim x infty x^1 / x

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: precisamos calcular limxtoinfty x^1/x. Esse é um limite de tipo exponencial que, à primeira vista, leva a uma indeterminação infty^0. Vamos usar a ideia de reescrever como exponencial e depois aplicar a regra de L’Hôpital no expoente.

Passo 2

Identificação da indeterminação: quando xtoinfty, temos a base xtoinfty e o expoente 1/xto0^+, caracterizando a forma indeterminada infty^0, que não dá resposta direta.

Passo 3

Reescrita em função exponencial: definimos L=limxtoinftyx^1/x. Aplicando logaritmo natural, obtemos ln L = limxtoinftyln xx. Logo
Cálculo do limite do expoente: o quociente ln xx é indeterminado do tipo infty/infty. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: derivada de ln x é 1/x e de x é 1. Assim,
obtemos limxtoinftyln xx=limxtoinfty1/x1=limxtoinfty1x=0. Portanto ln L=0 e

Passo 4

Conclusão do limite original: como ln L=0, vem L=exp(0)=1.

Resposta

1

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