Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva a
, no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a curva definida por $ y = \sqrt{x} \sin x $ e queremos encontrar:
- A equação da reta tangente a essa curva no ponto $ P(0, 1) $.
- A equação da reta normal a essa curva no mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto $ P(0, 1) $ está na curva $ y = \sqrt{x} \sin x $. Substituindo $ x = 0 $ na equação da curva:
Então, o ponto correto na curva seria $ P(0, 0) $. Parece que houve um pequeno erro no enunciado. Vamos considerar o ponto $ P(0, 0) $ para continuar a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $ para obter a inclinação da reta tangente no ponto $ P(0, 0) $. A função é:
Vamos derivar usando a regra do produto, que diz que se $ y = u \cdot v $, então $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 4
Definindo:
- $ u = \sqrt{x} = x^{1/2} $
- $ v = \sin x $
Calculando as derivadas:
- $ u’ = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
- $ v’ = \cos x $
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = 0 $:
Observamos que temos termos com $ \sqrt{0} $ no denominador, o que resulta em uma indeterminação. Isso significa que a derivada não está definida em $ x = 0 $, e, portanto, a reta tangente nesse ponto não existe de forma convencional.
Passo 7
Porém, analisando o comportamento da função perto de $ x = 0 $, podemos observar que:
A derivada dessa aproximação é:
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ y’ $ também se aproxima de 0.
Passo 8
Portanto, podemos considerar que a inclinação da reta tangente no ponto $ P(0, 0) $ é 0. Assim, a equação da reta tangente é uma linha horizontal passando por $ (0, 0) $:
Passo 9
A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como a reta tangente tem inclinação 0 (horizontal), a reta normal terá inclinação infinita, ou seja, será uma reta vertical passando por $ (0, 0) $:
Resposta
A equação da reta tangente à curva $ y = \sqrt{x} \sin x $ no ponto $ P(0, 0) $ é $ y = 0 $ e a equação da reta normal é $ x = 0 $.