Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva a y= raizx sin x, no ponto P(0,1).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a curva definida por $ y = \sqrt{x} \sin x $ e queremos encontrar:
  1. A equação da reta tangente a essa curva no ponto $ P(0, 1) $.
  2. A equação da reta normal a essa curva no mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto $ P(0, 1) $ está na curva $ y = \sqrt{x} \sin x $. Substituindo $ x = 0 $ na equação da curva:
P(0, 1)
Então, o ponto correto na curva seria $ P(0, 0) $. Parece que houve um pequeno erro no enunciado. Vamos considerar o ponto $ P(0, 0) $ para continuar a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $ para obter a inclinação da reta tangente no ponto $ P(0, 0) $. A função é:
y
Vamos derivar usando a regra do produto, que diz que se $ y = u \cdot v $, então $ y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 4

Definindo:
  • $ u = \sqrt{x} = x^{1/2} $
  • $ v = \sin x $
Calculando as derivadas:
  • $ u’ = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
  • $ v’ = \cos x $

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v' = 12raizx cdot sin x + raizx cdot cos x

Passo 6

Agora, vamos avaliar a derivada em $ x = 0 $:
x = 0
Observamos que temos termos com $ \sqrt{0} $ no denominador, o que resulta em uma indeterminação. Isso significa que a derivada não está definida em $ x = 0 $, e, portanto, a reta tangente nesse ponto não existe de forma convencional.

Passo 7

Porém, analisando o comportamento da função perto de $ x = 0 $, podemos observar que:
x = 0
A derivada dessa aproximação é:
y = raizx sin x approx raizx cdot x = x^3/2
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ y’ $ também se aproxima de 0.

Passo 8

Portanto, podemos considerar que a inclinação da reta tangente no ponto $ P(0, 0) $ é 0. Assim, a equação da reta tangente é uma linha horizontal passando por $ (0, 0) $:
P(0, 0)

Passo 9

A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como a reta tangente tem inclinação 0 (horizontal), a reta normal terá inclinação infinita, ou seja, será uma reta vertical passando por $ (0, 0) $:
(0, 0)

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ y = \sqrt{x} \sin x $ no ponto $ P(0, 0) $ é $ y = 0 $ e a equação da reta normal é $ x = 0 $.

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