Resolva o seguinte problema de valor inicial
y^prime-2 y=-x^2 y(0)=14

Passo 1

Então, temos um problema de valor inicial que envolve resolver uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso está dentro da matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, a equação dada é:
y' - 2y = -x^2
Aqui, podemos ver que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a sua resolução. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) , dx é dado por:
mu(x) = e^integral -2 , dx = e^-2x
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-2x y' - 2 e^-2x y = -x^2 e^-2x
Isso transforma a equação de uma forma que o lado esquerdo se torna a derivada do produto .

Passo 5

Com o fator integrante aplicado, podemos reescrever a equação como:
ddx ( e^-2x y ) = -x^2 e^-2x
Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( e^-2x y ) , dx = integral -x^2 e^-2x , dx :
e^-2x y = integral -x^2 e^-2x , dx + C
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrais de produtos de funções. A fórmula é:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx dv = e^-2x , dx Rightarrow v = -12 e^-2x
Escolhemos:
integral x^2 e^-2x , dx = -12 x^2 e^-2x + integral x cdot e^-2x , dx
Aplicando a fórmula:
u = x Rightarrow du = dx dv = e^-2x , dx Rightarrow v = -12 e^-2x
Repetimos a integração por partes para a nova integral integral x e^-2x , dx = -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x , dx = -12 x e^-2x - 14 e^-2x :
integral x^2 e^-2x , dx = -12 x^2 e^-2x + ( -12 x e^-2x - 14 e^-2x ) = -12 e^-2x (x^2 + x + 12)
Então:
integral -x^2 e^-2x , dx = 12 e^-2x (x^2 + x + 12) + C
Substituindo de volta:
Portanto:

Passo 7

Voltando à equação anterior:
e^-2x y = 12 e^-2x (x^2 + x + 12) + C
Para isolar y = 12 (x^2 + x + 12) + C e^2x , multiplicamos ambos os lados por y = x^22 + x2 + 14 + C e^2x :
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial 14 = 0^22 + 02 + 14 + C e^2 cdot 0 para encontrar o valor de 14 = 0 + 0 + 14 + C cdot 1 14 = 14 + C C = 0 :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = x^22 + x2 + 14

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