Resolva o seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Então, temos um problema de valor inicial que envolve resolver uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação dada é:
Aqui, podemos ver que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a sua resolução. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação de uma forma que o lado esquerdo se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Com o fator integrante aplicado, podemos reescrever a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrais de produtos de funções. A fórmula é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Repetimos a integração por partes para a nova integral
:
Então:
Substituindo de volta:
Portanto:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: