Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da equação
x^2-3 x y+y^2=-1
no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva implícita definida por x^2 - 3xy + y^2 = -1 no ponto (1,1). O conteúdo é derivação implícita para achar dy/dx e depois usar a fórmula ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Como -1 é constante, sua derivada é zero. Em bloco, temos:
ddx(x^2) - 3ddx(x y) + ddx(y^2) = ddx(-1) = 0
Aplicando as regras: ddx(x^2)=2x, ddx(xy)=y + x,y' e ddx(y^2)=2y,y'.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação:
2x -3(y + x y') + 2y,y' = 0
Distribuindo e agrupando os termos com y':
2x -3y -3x y' +2y y' = 0
(-3x +2y),y' + (2x -3y) = 0
Isolando y':
y'(2y -3x) = 3y -2x
y' = 3y -2x2y -3x

Passo 4

Agora avaliamos a inclinação no ponto (1,1):
y'(1,1) = 3cdot1 -2cdot12cdot1 -3cdot1 = 3-22-3 = 1-1 = -1
Então a reta tangente tem coeficiente angular m = -1.

Passo 5

Usamos a fórmula ponto-inclinação da reta passando por (x0,y0)=(1,1):
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo:
y - 1 = -1(x - 1)
Simplificando:
y - 1 = -x + 1 Longrightarrow y = -x + 2

Resposta

y = -x + 2

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