Determine a equação da reta tangente ao gráfico da equação
x y-x^2+y^2=3 x+1
no ponto (1,2).

Passo 1

Temos a curva definida implicitamente por
xy - x^2 + y^2 = 3x + 1
e queremos a reta tangente no ponto (1,2). O conteúdo aqui é diferenciação implícita para encontrar y' e então montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Aplicamos a derivação implícita de cada termo em relação a x:
ddx(xy) - ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(3x + 1)
Isso gera:
y + x,y' - 2x + 2y,y' = 3
Agrupando y':
(x + 2y),y' = 3 + 2x - y
Logo:
y' = 3 + 2x - yx + 2y

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(1,2):
y'l|(1,2) = 3 + 2cdot1 - 21 + 2cdot2 = 35
A equação da reta tangente com coeficiente angular m=3/5 e que passa por (1,2) é
y - 2 = 35(x - 1)
que, em forma explícita, fica:
y = 35x + 75

Resposta

y = 35x + 75

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