Indique se a equação a seguir é exata ou não, se for encontre a solução
(2 y-1x+cos 3 x) d yd x+yx^2-4 x^3+3 y sin 3 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução. A matéria aqui é Equações Diferenciais Exatas, e vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como resolver nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nossa análise. A equação dada é:
(2 y-1x+cos 3 x) d yd x + yx^2 - 4 x^3 + 3 y sin 3 x = 0
Podemos reorganizar os termos para a forma padrão de uma equação diferencial exata:
M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0
Identificando $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
M(x, y)
N(x, y)

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
M
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
y

Passo 4

Vamos comparar as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1x^2 + 3 sin 3x
partial Npartial x = 1x^2 - 3 sin 3x
Claramente, elas não são iguais:
partial Mpartial y neq partial Npartial x

Passo 5

Como as derivadas parciais não são iguais, a equação diferencial não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Para simplificar, podemos tentar um fator integrante que depende apenas de $ x $. Vamos supor que o fator integrante seja $ \mu(x) $.

Passo 6

Multiplicamos a equação original por $ \mu(x) $:
mu(x)
Para que a equação seja exata, precisamos que:
mu(x) (2 y - 1x + cos 3x) d yd x + mu(x) (yx^2 - 4 x^3 + 3 y sin 3x) = 0

Passo 7

Calculamos as derivadas novamente, agora incluindo $ \mu(x) $:
mu(x)
dd y [mu(x) M] = mu(x) (1x^2 + 3 sin 3x)
Igualando as duas expressões:
dd x [mu(x) N] = mu'(x) (2 y - 1x + cos 3x) + mu(x) (1x^2 - 3 sin 3x)
Simplificando:
mu(x) (1x^2 + 3 sin 3x) = mu'(x) (2 y - 1x + cos 3x) + mu(x) (1x^2 - 3 sin 3x)

Passo 8

Observamos que a equação para $ \mu(x) $ depende de $ y $, o que complica encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $. Portanto, a abordagem de fator integrante simples não é viável neste caso.
Isso sugere que a equação original não é exata e que não conseguimos encontrar uma solução direta usando métodos convencionais.

Resposta

A equação diferencial fornecida não é exata e, portanto, não é possível encontrar uma solução direta usando os métodos de equações exatas.

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