Indique se a equação a seguir é exata ou não, se for encontre a solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução. A matéria aqui é Equações Diferenciais Exatas, e vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como resolver nesse caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nossa análise. A equação dada é:
Podemos reorganizar os termos para a forma padrão de uma equação diferencial exata:
Identificando $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 4
Vamos comparar as duas derivadas parciais:
Claramente, elas não são iguais:
Passo 5
Como as derivadas parciais não são iguais, a equação diferencial não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Para simplificar, podemos tentar um fator integrante que depende apenas de $ x $. Vamos supor que o fator integrante seja $ \mu(x) $.
Passo 6
Multiplicamos a equação original por $ \mu(x) $:
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Passo 7
Calculamos as derivadas novamente, agora incluindo $ \mu(x) $:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que a equação para $ \mu(x) $ depende de $ y $, o que complica encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $. Portanto, a abordagem de fator integrante simples não é viável neste caso.
Isso sugere que a equação original não é exata e que não conseguimos encontrar uma solução direta usando métodos convencionais.
Resposta
A equação diferencial fornecida não é exata e, portanto, não é possível encontrar uma solução direta usando os métodos de equações exatas.