Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^3-3 x^2+x em x=2.
(R: y=x-4)

Passo 1

Temos a função f(x)=x{3}-3x{2}+x e queremos a reta tangente no ponto onde x=2. O conteúdo aqui é derivada de funções para obter o coeficiente angular e ponto no gráfico para usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calcular a ordenada do ponto de tangência: f(2). Substituindo em f(x) temos
f(2)=2^3-3cdot2^2+2=8-12+2=-2
Então o ponto de tangência é (2,−2).

Passo 3

Encontrar a derivada f’(x) para obter a inclinação da reta. Diferenciando cada termo:
f'(x)=3x^2-6x+1
Agora avaliamos em x=2:
f'(2)=3cdot2^2-6cdot2+1=12-12+1=1
Logo a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 4

Aplicar a fórmula da reta no ponto (a,f(a)) com inclinação m: y−f(a)=m(x−a). Aqui a=2, f(a)=−2 e m=1:
y-(-2)=1,(x-2)

Passo 5

Desenvolver e simplificar para obter y em função de x:
y+2=x-2
y=x-4

Resposta

y=x-4

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