Calcule a integral
integral|z|=1 barz-zz^2 d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral integral|z|=1 z - zz^2 , dz. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente integrais sobre caminhos no plano complexo. Para resolver, vamos usar noções de cálculo integral de funções de variáveis complexas, como a parametrização de integrais e propriedades das funções analíticas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é z. Para um número complexo z = x + iy, o conjugado z = x - iy. Na integral, isso significa que z não é uma função analítica (não depende apenas de z), o que pode complicar a integração direta.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho |z| = 1. Podemos escrever z na forma polar: z = e^itheta, onde theta vai de 0 a 2pi. Assim, dz = i e^itheta dtheta. Além disso, z = e^-itheta.

Passo 4

Substituindo z e z na integral, temos:
integral0^2pi e^-itheta - e^ithetae^2itheta cdot i e^itheta dtheta
Simplificando o denominador e o numerador:
e^-itheta - e^ithetae^2itheta = e^-3itheta - e^-itheta

Passo 5

Agora, multiplicamos pelo dz = i e^itheta dtheta:
integral0^2pi (e^-3itheta - e^-itheta) cdot i e^itheta dtheta = i integral0^2pi (e^-2itheta - 1) dtheta

Passo 6

Vamos separar a integral:
i ( integral0^2pi e^-2itheta dtheta - integral0^2pi 1 , dtheta )
Sabemos que integral0^2pi e^-2itheta dtheta = 0 porque é uma integral de uma função periódica sobre um período completo. Já integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi.

Passo 7

Substituindo os resultados:
i (0 - 2pi) = -2pi i

Resposta

A integral vale -2pi i.

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