Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral
. Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especificamente integrais sobre caminhos no plano complexo. Para resolver, vamos usar noções de cálculo integral de funções de variáveis complexas, como a parametrização de integrais e propriedades das funções analíticas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é
. Para um número complexo
, o conjugado
. Na integral, isso significa que
não é uma função analítica (não depende apenas de
), o que pode complicar a integração direta.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho
. Podemos escrever
na forma polar:
, onde
vai de
a
. Assim,
. Além disso,
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Simplificando o denominador e o numerador:
Passo 5
Agora, multiplicamos pelo
:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Sabemos que
porque é uma integral de uma função periódica sobre um período completo. Já
.
Passo 7
Substituindo os resultados:
Resposta
A integral vale
.