Encontre todos os valores de A, B in R para que a função f: R R dada por
f(x)=rll x^2+1, & se & x >= 0 A sen(x)+B cos (x), & se & x<0
seja diferenciável em x=0.
( R: A=0, B=1 )

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes com um ramo para x\u22650 e outro para x<0, e pede que ela seja diferenciável em x=0. O conteúdo aqui é análise de continuidade e de derivadas laterais. Vamos precisar usar o conceito de continuidade (limite à esquerda igual a f(0)) e igualar as derivadas laterais em x=0.

Passo 2

Para garantir a continuidade em x=0, exigimos
limxto0^-f(x)=f(0)
Como para x<0 temos f(x)=A\sin(x)+B\cos(x), temos
limxto0^-(Asin(x)+Bcos(x))=Acdot0+Bcdot1=B
E f(0)=0^2+1=1. Logo B=1.

Passo 3

Agora impomos a igualdade das derivadas laterais em x=0. No ramo x\u22650 temos f(x)=x^2+1, cuja derivada é f’(x)=2x, então
f'(0^+)=2cdot0=0
No ramo x<0 temos f(x)=A\sin(x)+B\cos(x), cuja derivada é f’(x)=A\cos(x)-B\sin(x). Em x=0 isso vale
f'(0^-)=Acos(0)-Bsin(0)=Acdot1-Bcdot0=A
Para diferenciabilidade precisamos f’(0-)=f’(0+), ou seja A=0.

Passo 4

Juntando as condições, obtemos A=0 e B=1.

Resposta

A=0 e B=1

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