Encontre todos os valores de
para que a função
dada por
seja diferenciável em
.
(
)
(
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes com um ramo para x\u22650 e outro para x<0, e pede que ela seja diferenciável em x=0. O conteúdo aqui é análise de continuidade e de derivadas laterais. Vamos precisar usar o conceito de continuidade (limite à esquerda igual a f(0)) e igualar as derivadas laterais em x=0.
Passo 2
Para garantir a continuidade em x=0, exigimos
Como para x<0 temos f(x)=A\sin(x)+B\cos(x), temos
E f(0)=0^2+1=1. Logo B=1.
Passo 3
Agora impomos a igualdade das derivadas laterais em x=0. No ramo x\u22650 temos f(x)=x^2+1, cuja derivada é f’(x)=2x, então
No ramo x<0 temos f(x)=A\sin(x)+B\cos(x), cuja derivada é f’(x)=A\cos(x)-B\sin(x). Em x=0 isso vale
Para diferenciabilidade precisamos f’(0-)=f’(0+), ou seja A=0.
Passo 4
Juntando as condições, obtemos A=0 e B=1.