Calcular . Em seguida represente graficamente a área correspondente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 3 da função potência x² e depois mostrar graficamente a região sob a curva. O conteúdo aqui é integral de função do tipo xⁿ e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo e da fórmula da antiderivada de xⁿ.

Passo 2

Para integrar x² usamos a regra de potência: se temos ∫ xⁿ dx, então uma antiderivada é
F(x)=x^n+1n+1+C
No nosso caso n=2, logo
F(x)=x^33

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
integral0^3x^2,dx=F(3)-F(0)
Substituindo F(x)=x³/3, temos
F(3)=3³3=273=9, ³
F(0)=0³3=0 ³
Logo
integral0^3x^2,dx=9-0=9

Passo 4

Para representar graficamente, desenhe o eixo x de 0 a 3, o eixo y de 0 a 9 e a parábola y=x² passando pelos pontos (0,0), (1,1), (2,4) e (3,9). A região procurada é a área sob essa curva, acima do eixo x, entre x=0 e x=3. Um esboço em ASCII fica assim:
     y
     ^
 9   |               *
     |              .
 6   |           ....
     |        ....
 3   |     ......
     |  ........
 0   |______________> x
      0      3
Os pontos da parábola estão marcados com “*” e a área sob a curva está preenchida com “.”.

Resposta

9

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