Encontre a equação de uma reta tangente ao gráfico da função
, definida por
, que seja paralela à reta passando por (-2,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a(s) equação(ões) de reta tangente ao gráfico da função
, definida por
, que seja(m) paralela(s) à reta que passa pelos pontos
e
.
Informações dadas:
- A função é
com domínio . - A reta de referência passa por
e . - Precisamos achar reta(s) tangente(s) ao gráfico de
(ou seja, reta(s) que tocam o gráfico em um ponto e têm a mesma inclinação que a tangente ali) que sejam paralela(s) àquela reta de referência.
Passo 2
Calcular
e
— isso é só avaliação da função nos pontos dados:
Portanto os pontos da reta de referência são
e
.
Passo 3
Calcular o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa por
e
. A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos
e
é
Aplicando:
Então a reta de referência é horizontal, tem inclinação
(é a reta
).
Passo 4
Explicar como achar pontos onde a tangente tem inclinação
. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
num ponto
é dado pela derivada
. A derivada é a função que fornece a inclinação local do gráfico; para uma função polinomial simples, derivamos termo a termo: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim,
Queremos pontos onde a tangente tem inclinação igual a
(a mesma inclinação da reta de referência). Portanto devemos resolver
Passo 5
Resolver
:
Logo
Verificação de domínio:
estão dentro de
, então ambos são aceitos.
Passo 6
Calcular as ordenadas
. Usei
para simplificar.
Para :
Para
Racionalizando (opcional):
Para
:
Passo 7
Escrever a equação da reta tangente em cada ponto. A forma ponto-inclinação da reta tangente em
é
Como
nos pontos encontrados, a forma simplifica para
Portanto as tangentes são retas horizontais cujas ordenadas são as
calculadas.
Para
: reta tangente é
.
Para
: reta tangente é
.