Encontre a equação de uma reta tangente ao gráfico da função f:[-2,2] \rightarrow \mathrm{R}, definida por f(x)=x^{3}-4 x, que seja paralela à reta passando por (-2, f(-2)) e (2, f(2)).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a(s) equação(ões) de reta tangente ao gráfico da função f:[-2,2]\to\mathrm{R}, definida por f(x)=x^{3}-4x, que seja(m) paralela(s) à reta que passa pelos pontos (-2,f(-2)) e (2,f(2)).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-4x com domínio [-2,2].
  • A reta de referência passa por (-2,f(-2)) e (2,f(2)).
  • Precisamos achar reta(s) tangente(s) ao gráfico de f (ou seja, reta(s) que tocam o gráfico em um ponto e têm a mesma inclinação que a tangente ali) que sejam paralela(s) àquela reta de referência.

Passo 2

Calcular f(-2) e f(2) — isso é só avaliação da função nos pontos dados:
f(-2)=(-2)^{3}-4(-2)=-8+8=0,
f(2)=2^{3}-4\cdot 2=8-8=0.
Portanto os pontos da reta de referência são (-2,0) e (2,0).

Passo 3

Calcular o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa por (-2,0) e (2,0). A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando:
m=\frac{0-0}{2-(-2)}=\frac{0}{4}=0.
Então a reta de referência é horizontal, tem inclinação 0 (é a reta y=0).

Passo 4

Explicar como achar pontos onde a tangente tem inclinação 0. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f num ponto x=a é dado pela derivada f'(a). A derivada é a função que fornece a inclinação local do gráfico; para uma função polinomial simples, derivamos termo a termo: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de -4x é -4. Assim,
f'(x)=3x^{2}-4.
Queremos pontos onde a tangente tem inclinação igual a 0 (a mesma inclinação da reta de referência). Portanto devemos resolver
f'(x)=0.

Passo 5

Resolver f'(x)=0:
3x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{3}.
Logo
x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}.
Verificação de domínio: \pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1,1547 estão dentro de [-2,2], então ambos são aceitos.

Passo 6

Calcular as ordenadas f\bigl(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\bigr). Usei f(x)=x^{3}-4x=x(x^{2}-4) para simplificar.
Para x=\frac{2}{\sqrt{3}}:
x^{2}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad x^{2}-4=\frac{4}{3}-4=-\frac{8}{3},
f\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{8}{3}\right)=-\frac{16}{3\sqrt{3}}.
Racionalizando (opcional):
-\frac{16}{3\sqrt{3}}=-\frac{16\sqrt{3}}{9}.
Para x=-\frac{2}{\sqrt{3}}:
f\!\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{16}{3\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{9}.

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente em cada ponto. A forma ponto-inclinação da reta tangente em x=a é
y=f'(a)\,(x-a)+f(a).
Como f'(a)=0 nos pontos encontrados, a forma simplifica para
y=f(a).
Portanto as tangentes são retas horizontais cujas ordenadas são as f(a) calculadas.
Para x=\frac{2}{\sqrt{3}}: reta tangente é y=-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}.
Para x=-\frac{2}{\sqrt{3}}: reta tangente é y=\dfrac{16\sqrt{3}}{9}.

Resposta

y=-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}
y=\dfrac{16\sqrt{3}}{9}

Exercícios relacionados