Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função no número indicado: f(x)=4 x^2+7 x ; x=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve conhecimentos de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(-1) = 4(-1)^2 + 7(-1) = 4(1) - 7 = 4 - 7 = -3 para saber o ponto exato onde a reta tangente vai tocar o gráfico. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx(4x^2) + ddx(7x) = 8x + 7 para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de f'(-1) = 8(-1) + 7 = -8 + 7 = -1 é:
Em seguida, avaliamos a derivada em :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com o ponto y - y0 = m(x - x0) e a inclinação y - (-3) = -1(x - (-1)) y + 3 = -1(x + 1) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y + 3 = -x - 1
Substituindo os valores:
y = -x - 1 - 3 y = -x - 4
Distribuindo o -1:
Isolando :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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