Utilize o Teorema de Convolução para determinar a função que fornece a seguinte Transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função no domínio do tempo cuja Transformada de Laplace é $ \frac{1}{(s-1)^{2}} $. Para isso, vamos usar o Teorema da Convolução, que está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Esse teorema diz que se temos duas funções $ f(t) $ e $ g(t) $ com suas respectivas transformadas de Laplace $ F(s) $ e $ G(s) $, então a transformada de Laplace do produto $ F(s)G(s) $ é igual à convolução das funções no domínio do tempo:
No nosso caso, queremos encontrar a função $ h(t) $ tal que:
Passo 3
Vamos decompor $ \frac{1}{(s-1)^{2}} $ como o produto de duas funções mais simples cuja Transformada de Laplace conhecemos. Observe que:
Agora, sabemos que:
Então, a transformada inversa de $ \frac{1}{s-1} $ é:
Passo 4
Segundo o Teorema da Convolução, a transformada inversa do produto $ \frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{s-1} $ é a convolução das funções correspondentes no tempo:
Simplificando a integral:
Resposta
A função que corresponde à Transformada de Laplace $ \frac{1}{(s-1)^{2}} $ é: