Utilize o Teorema de Convolução para determinar a função que fornece a seguinte Transformada de Laplace:
1(s-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função no domínio do tempo cuja Transformada de Laplace é $ \frac{1}{(s-1)^{2}} $. Para isso, vamos usar o Teorema da Convolução, que está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Convolução. Esse teorema diz que se temos duas funções $ f(t) $ e $ g(t) $ com suas respectivas transformadas de Laplace $ F(s) $ e $ G(s) $, então a transformada de Laplace do produto $ F(s)G(s) $ é igual à convolução das funções no domínio do tempo:
f(t)
No nosso caso, queremos encontrar a função $ h(t) $ tal que:
g(t)

Passo 3

Vamos decompor $ \frac{1}{(s-1)^{2}} $ como o produto de duas funções mais simples cuja Transformada de Laplace conhecemos. Observe que:
1(s-1)^2
Agora, sabemos que:
1(s-1)^2 = 1s-1 cdot 1s-1
Então, a transformada inversa de $ \frac{1}{s-1} $ é:
Le^at = 1s - a

Passo 4

Segundo o Teorema da Convolução, a transformada inversa do produto $ \frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{s-1} $ é a convolução das funções correspondentes no tempo:
1s-1 cdot 1s-1
Simplificando a integral:
h(t) = e^t * e^t = integral0^t e^tau cdot e^t - tau , dtau

Resposta

A função que corresponde à Transformada de Laplace $ \frac{1}{(s-1)^{2}} $ é:
1(s-1)^2

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