Resolva a equação integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação integral que é a seguinte:
Essa questão está dentro do conteúdo de equações integrais, mais especificamente das equações de Volterra de segunda espécie. Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral, diferenciação e entender como transformar uma equação integral em uma diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação está dizendo. A função $ y(x) $ é igual a $ x^3 $ mais uma integral que envolve $ y(t) $. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para $ y(x) $ que satisfaça essa igualdade para todo valor de $ x $.
Passo 3
Para resolver essa equação, uma estratégia comum é diferenciar ambos os lados em relação a $ x $. Isso nos ajuda a eliminar a integral. Vamos fazer isso:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do lado direito. A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $. Para a integral, usamos a regra de Leibniz para derivadas de integrais dependentes de parâmetros:
Note que $ (x - x) y(x) = 0 $, então sobra apenas:
Portanto, a equação derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral:
A derivada de $ 3x^2 $ é $ 6x $ e, pela regra fundamental do cálculo, a derivada da integral é simplesmente $ y(x) $. Então:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Para resolver essa equação, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é $ r^2 - 1 = 0 $, com raízes $ r = 1 $ e $ r = -1 $. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 7
Agora, precisamos achar uma solução particular ($ y_p(x) $) para a equação completa. Como o lado direito é $ 6x $, tentamos uma solução do tipo polinomial. Vamos supor:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
o que simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
$ -A = 6 $ ⇒ $ A = -6 $,
$ -B = 0 $ ⇒ $ B = 0 $.
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições iniciais.
Passo 9
Vamos usar a condição inicial da equação integral. Quando $ x = 0 $:
Então, $ y(0) = 0 $.
Além disso, temos que:
Quando $ x = 0 $:
Então, $ y’(0) = 0 $.
Passo 10
Vamos aplicar essas condições na solução geral:
- Para $ y(0) = 0 $:
- Para $ y’(0) = 0 $:
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(x) $:
Então, para $ x = 0 $:
Agora temos o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Adicionando as duas equações:
Substituindo em $ C_1 + C_2 = 0 $:
Resposta
Portanto, a solução da equação integral é: