Resolva a equação integral:
y(x)=x^3+integral0^x(x-t) y(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral que é a seguinte:
y(x) = x^3 + integral0^x (x - t) y(t) , dt
Essa questão está dentro do conteúdo de equações integrais, mais especificamente das equações de Volterra de segunda espécie. Para resolver, vamos precisar usar cálculo integral, diferenciação e entender como transformar uma equação integral em uma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação está dizendo. A função $ y(x) $ é igual a $ x^3 $ mais uma integral que envolve $ y(t) $. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para $ y(x) $ que satisfaça essa igualdade para todo valor de $ x $.

Passo 3

Para resolver essa equação, uma estratégia comum é diferenciar ambos os lados em relação a $ x $. Isso nos ajuda a eliminar a integral. Vamos fazer isso:
x

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado direito. A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $. Para a integral, usamos a regra de Leibniz para derivadas de integrais dependentes de parâmetros:
x^3
Note que $ (x - x) y(x) = 0 $, então sobra apenas:
3x^2
Portanto, a equação derivada fica:
ddx integral0^x (x - t) y(t) , dt = integral0^x partialpartial x (x - t) y(t) , dt + (x - x) y(x) cdot 1

Passo 5

Agora, vamos diferenciar novamente ambos os lados para eliminar a integral:
ddx y'(x) = ddx [ 3x^2 + integral0^x y(t) , dt ]
A derivada de $ 3x^2 $ é $ 6x $ e, pela regra fundamental do cálculo, a derivada da integral é simplesmente $ y(x) $. Então:
3x^2

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y''(x) - y(x) = 6x
Para resolver essa equação, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''(x) - y(x) = 0
A equação característica é $ r^2 - 1 = 0 $, com raízes $ r = 1 $ e $ r = -1 $. Então, a solução geral da equação homogênea é:
r^2 - 1 = 0
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 7

Agora, precisamos achar uma solução particular ($ y_p(x) $) para a equação completa. Como o lado direito é $ 6x $, tentamos uma solução do tipo polinomial. Vamos supor:
yp(x)
Calculando as derivadas:
6x
yp(x) = A x + B
Substituindo na equação diferencial:
yp'(x) = A,
o que simplifica para:
yp''(x) = 0
Comparando os coeficientes, temos:
$ -A = 6 $ ⇒ $ A = -6 $,
$ -B = 0 $ ⇒ $ B = 0 $.
Então, a solução particular é:
0 - (A x + B) = 6x,

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-x - 6x
Agora, precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições iniciais.

Passo 9

Vamos usar a condição inicial da equação integral. Quando $ x = 0 $:
x = 0
Então, $ y(0) = 0 $.
Além disso, temos que:
y(0) = 0^3 + integral0^0 (0 - t) y(t) , dt = 0 + 0 = 0
Quando $ x = 0 $:
y(0) = 0
Então, $ y’(0) = 0 $.

Passo 10

Vamos aplicar essas condições na solução geral:
  1. Para $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
  1. Para $ y’(0) = 0 $:
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(x) $:
C1 e^0 + C2 e^0 - 6 cdot 0 = C1 + C2 = 0
Então, para $ x = 0 $:
y'(0) = 0
Agora temos o sistema de equações:
y(x)
Resolvendo esse sistema:
Adicionando as duas equações:
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x - 6
Substituindo em $ C_1 + C_2 = 0 $:
x = 0

Resposta

Portanto, a solução da equação integral é:
y(x) = 3 e^x - 3 e^-x - 6x

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