Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
em
.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Vamos usar cálculo diferencial: precisaríamos do valor
e da derivada
avaliada em
, para então aplicar a forma ponto-inclinação da reta.
Passo 2
Primeiro encontramos o ponto de tangência:
Calculamos :
Calculamos
Passo 3
Depois, derivamos
usando a regra do quociente. Se
e
, então
A regra do quociente diz
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Calculamos o numerador em :
Calculamos o numerador em
O denominador em
é
. Logo
$$f’(1)=\frac{2\sin(1)+2\cos(1)}{4}=\frac{\sin(1)+\cos(1)}{2}.
$$
Passo 5
Temos então a reta tangente na forma ponto-inclinação:
$$y - f(1)=f’(1)(x-1).
$$
Passo 6
Para finalizar, podemos escrever na forma
. Expandindo e rearranjando, obtém-se
$$y=\frac{\sin(1)+\cos(1)}2,x-\frac{\cos(1)}2.
$$
Resposta
y=\frac{\sin(1)+\cos(1)}{2}x-\frac{\cos(1)}{2}