Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2 sen(x)(x^2+1) em x=1.
(R: y=3 x-1)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2sin(x)x^2+1 no ponto x=1. Vamos usar cálculo diferencial: precisaríamos do valor f(1) e da derivada f'(x) avaliada em x=1, para então aplicar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto de tangência:
Calculamos f(1):
f(1)=1^2sin(1)1^2+1=sin(1)2

Passo 3

Depois, derivamos f(x) usando a regra do quociente. Se N(x)=x^2sin(x) e D(x)=x^2+1, então
N'(x)=2xsin(x)+x^2cos(x), D'(x)=2x
A regra do quociente diz
f'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 = (2xsin(x)+x^2cos(x))(x^2+1)-2xcdot x^2sin(x)(x^2+1)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
Calculamos o numerador em x=1:
(2cdot1sin(1)+1^2cos(1))(1^2+1)-2cdot1cdot1^2sin(1) = (2sin(1)+cos(1))cdot2 -2sin(1) =4sin(1)+2cos(1)-2sin(1) =2sin(1)+2cos(1)
O denominador em x=1 é (1^2+1)^2=4. Logo
$$f’(1)=\frac{2\sin(1)+2\cos(1)}{4}=\frac{\sin(1)+\cos(1)}{2}.
$$

Passo 5

Temos então a reta tangente na forma ponto-inclinação:
$$y - f(1)=f’(1)(x-1).
y - f(1)=f'(1)(x-1) y-\frac{\sin(1)}2=\frac{\sin(1)+\cos(1)}2(x-1).
$$

Passo 6

Para finalizar, podemos escrever na forma y=mx+b. Expandindo e rearranjando, obtém-se
$$y=\frac{\sin(1)+\cos(1)}2,x-\frac{\cos(1)}2.
$$

Resposta

y=\frac{\sin(1)+\cos(1)}{2}x-\frac{\cos(1)}{2}

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