Prove que F(x)=13 x^3 é uma primitiva para f(x)=x^2 em R. Determine a família de primitivas de f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função F(x)=tfrac13x^3 é primitiva de f(x)=x^2 em R e, em seguida, determinar todas as primitivas de f. O conteúdo envolve a definição de primitiva (antiderivada) e a regra de derivação de potências.

Passo 2

Uma primitiva F de f satisfaz F'(x)=f(x). Vamos derivar F(x)=tfrac13x^3 usando a regra de potência tfracddxx^n = n x^n-1. Assim,
F'(x)=ddxl(tfrac13x^3r)=tfrac13cdot3x^3-1=x^2=f(x)

Passo 3

Como a derivada de F coincide com f, concluímos que F é de fato uma primitiva de f.

Passo 4

Por definição, uma família completa de primitivas difere por uma constante. Logo, se F é primitiva, todas as primitivas são dadas por F(x)+C, com CinR.

Resposta

A família de primitivas de f(x)=x^2 é F(x)+C=tfrac13x^3+C, em que C é constante real.

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