Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
Passo 1
No enunciado, queremos a reta tangente ao gráfico da função
no ponto em que
. O tema é derivadas (regra da cadeia) e equação de reta tangente; precisaremos achar a derivada da função, avaliar essa derivada e a função no ponto dado e, por fim, usar a forma ponto-inclinação da reta.
Passo 2
Para derivar
, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro definimos
e reescrevemos
. Então
Passo 3
Agora avaliamos a função e sua derivada em
:
Passo 4
Com o ponto
e o coeficiente angular
, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
Passo 5
Para deixar em forma explícita
, expandimos e isolamos
:
[y - e^{-1} = -2e^{-1}x + 2e^{-1}\quad\Longrightarrow\quad y = -2e^{-1}x + 2e^{-1} + e^{-1} = -2e^{-1}x + 3e^{-1}.