Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de y=e^-x^2 no ponto em que x=1.

Passo 1

No enunciado, queremos a reta tangente ao gráfico da função y = e^-x^2 no ponto em que x = 1. O tema é derivadas (regra da cadeia) e equação de reta tangente; precisaremos achar a derivada da função, avaliar essa derivada e a função no ponto dado e, por fim, usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Para derivar y = e^-x^2, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro definimos u(x) = -x^2 e reescrevemos y = e^u(x). Então
y' = u'(x),e^u(x) = (-2x),e^-x^2

Passo 3

Agora avaliamos a função e sua derivada em x = 1:
y(1) = e^-1, y'(1) = -2cdot1cdot e^-1 = -2e^-1

Passo 4

Com o ponto (x0,y0) = (1,e^-1) e o coeficiente angular m = -2e^-1, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m,(x - x0)Longrightarrow y - e^-1 = -2e^-1(x - 1)

Passo 5

Para deixar em forma explícita y = mx + b, expandimos e isolamos y:
[y - e^{-1} = -2e^{-1}x + 2e^{-1}\quad\Longrightarrow\quad y = -2e^{-1}x + 2e^{-1} + e^{-1} = -2e^{-1}x + 3e^{-1}.

Resposta

y = -2e^-1x + 3e^-1

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