Encontre a equação da reta tangente aos gráficos das funções abaixo nos pontos dados.
f(x)=-x^3+2 x+1, ponto: (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = -x^3 + 2x + 1 no ponto (1, 2). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x). A derivada, representada por f'(x), nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da função.
A função dada é:
f(x) = -x^3 + 2x + 1
Calculando a derivada:
f'(x) = ddx(-x^3) + ddx(2x) + ddx(1) = -3x^2 + 2

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto x = 1. Substituímos x = 1 em f'(x):
f'(1) = -3(1)^2 + 2 = -3 + 2 = -1
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é -1.

Passo 4

Sabendo a inclinação da reta tangente e o ponto por onde ela passa, podemos usar a fórmula da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Onde (x0, y0) = (1, 2) e m = -1. Substituindo esses valores:
y - 2 = -1(x - 1)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma mais conhecida, y = mx + b:
y - 2 = -x + 1 y = -x + 1 + 2 y = -x + 3

Resposta

A equação da reta tangente é y = -x + 3.

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