Use o Teorema da Função Inversa para calcular as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Função Inversa. A questão pede para calcular a derivada de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de funções inversas e aplicar isso ao arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se temos uma função
que é diferenciável e inversível, então a derivada da função inversa
em um ponto
é dada por:
No nosso caso,
, então queremos encontrar
.
Passo 3
Vamos considerar que
. Isso significa que
. Agora, para aplicar o Teorema da Função Inversa, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Sabemos que a derivada da tangente é:
Portanto, a derivada inversa será:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Como
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Isso implica que:
Resposta
Portanto, a derivada de
é: