Use o Teorema da Função Inversa para calcular as derivadas das funções abaixo.
f(x)=arctg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Função Inversa. A questão pede para calcular a derivada de . Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de funções inversas e aplicar isso ao arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se temos uma função ( f^-1 )'(y) = 1f'( f^-1(y) ) que é diferenciável e inversível, então a derivada da função inversa em um ponto é dada por:
No nosso caso, , então queremos encontrar .

Passo 3

Vamos considerar que . Isso significa que . Agora, para aplicar o Teorema da Função Inversa, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 4

Sabemos que a derivada da tangente é:
dxdy = sec^2(y)
Portanto, a derivada inversa será:
dydx = 1sec^2(y) = cos^2(y)

Passo 5

Agora, precisamos expressar 1 + tan^2(y) = sec^2(y) em termos de cos^2(y) = 11 + tan^2(y) = 11 + x^2 . Como , podemos usar a identidade trigonométrica:
Isso implica que:

Resposta

Portanto, a derivada de f'(x) = 11 + x^2 é:

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