Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados:
f(x)=cot (x) em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cot(x) no ponto x=0; o conteúdo envolvido é derivação de função trigonométrica, e vamos precisar usar a regra do quociente ou a fórmula conhecida para derivar cot(x).

Passo 2

Vamos relembrar a definição de cot(x) como quociente: cot(x)=cos(x)sin(x). Para derivar esse quociente, usamos a regra: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

No nosso caso, u(x)=cos(x) e v(x)=sin(x). Então, calculando u'(x)= -sin(x) e v'(x)=cos(x), substituindo na regra do quociente, temos:
cot'(x)=(-sin(x)),sin(x)-cos(x),cos(x)[sin(x)]^2 =-sin^2(x)-cos^2(x)sin^2(x) = -sin^2(x)+cos^2(x)sin^2(x) = -1sin^2(x)

Passo 4

Assim obtemos a fórmula geral da derivada: cot'(x)=-csc^2(x).

Passo 5

Agora avaliamos em x=0. Como sin(0)=0, temos csc^2(0)=1/sin^2(0)=infty (ou não definido). Portanto cot'(0)=-csc^2(0) não existe (tende a -∞).

Resposta

A derivada não existe em x=0, pois cot'(x)=-csc^2(x) e csc^2(0) é indefinido (tende a infinito).

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