Encontre a equação da reta tangente no ponto dado.
f(x)=\ln \left(1+e^{2 x}\right),(0, f(0)).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva f(x)=\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) no ponto \bigl(0,f(0)\bigr). Para isso vamos precisar calcular o valor de f(0), obter a derivada f'(x), avaliar f'(0) e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calculamos f(0):
f(0)=\ln\bigl(1+e^{2\cdot0}\bigr)=\ln(1+1)=\ln(2).

Passo 3

Usando a regra da cadeia para f(x)=\ln(u) com u=1+e^{2x}, primeiro encontramos
u'=2e^{2x},
e depois
f'(x)=\frac{u'}{u}=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}.

Passo 4

Avaliamos a derivada em x=0:
f'(0)=\frac{2e^{0}}{1+e^{0}}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

A reta tangente em \bigl(0,\ln(2)\bigr) com coeficiente angular m=1 é
y-\ln(2)=1\,(x-0),
que simplifica para
y=x+\ln(2).

Resposta

y=x+\ln(2)

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