Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2 & \text { se } x \leq 1 \\\\ -3 x+6, & \text { se } x>1\end{array}, c=1 ;\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} x+2, & \text{se }x\le1,\\\\ -3x+6, & \text{se }x>1, \end{cases}
e pede para verificar que ela não é derivável em c=1. Vamos usar o conceito de derivadas laterais: calcular f'_-(1) e f'_+(1) e mostrar que são diferentes.

Passo 2

Para h<0 temos 1+h<1, logo
f(1+h)=(1+h)+2=3+h, \quad f(1)=1+2=3.
Assim, a derivada pela esquerda em x=1 é
f'_-(1) =\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{(3+h)-3}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{h}{h} =1.

Passo 3

Para h>0 temos 1+h>1, então
f(1+h)=-3(1+h)+6=3-3h, \quad f(1)=3.
A derivada pela direita em x=1 é
f'_+(1) =\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{(3-3h)-3}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{-3h}{h} =-3.

Passo 4

Como as derivadas laterais não coincidem ( f'_-(1)=1 e f'_+(1)=-3), concluímos que f não é derivável em x=1.

Resposta

A função não é derivável em c=1 porque
f'_-(1)=1\neq f'_+(1)=-3.

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