Encontre a equação da reta tangente no ponto dado.
f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}, \quad(1 . f(1)).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente a
f(x)=\frac{\ln(x)}{x^{2}}
no ponto cuya abscissa é x_{0}=1. Vamos precisar de duas coisas:
  1. o valor de f(1) para obter o ponto (x_{0},y_{0});
  2. a derivada f'(x) para encontrar o coeficiente angular da tangente e usar a fórmula
y - y_{0} = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).

Passo 2

Calcular f(1). Como \ln(1)=0,
f(1) = \frac{\ln(1)}{1^{2}} = 0.
Logo o ponto de tangência é (1,0).

Passo 3

Determinar f'(x). Escrevendo f(x)=\ln(x)\cdot x^{-2} e usando a regra do produto:
f'(x) = (\ln(x))'\,x^{-2} + \ln(x)\,(x^{-2})' = \frac{1}{x}\,x^{-2} + \ln(x)\,(-2x^{-3}) = x^{-3} -2x^{-3}\ln(x) = (1 - 2\ln(x))\,x^{-3}.

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=1. Como \ln(1)=0,
f'(1) = (1 - 2\cdot 0)\,1^{-3} = 1.
Então o coeficiente angular da reta tangente é m=1.

Passo 5

Substituir na fórmula da reta tangente com (x_{0},y_{0})=(1,0) e m=1:
y - 0 = 1\,(x - 1),
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y = x - 1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = x - 1.

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