Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal ao gráfico da função f dada por:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 no ponto ( 3,4 )

Passo 1

O enunciado dá a função f e um ponto do seu gráfico:
  • Função: f(x)=x^{3}-3x^{2}+4.
  • Ponto: (3,4).
O que é pedido:
  • Uma equação para a reta tangente ao gráfico de f no ponto (3,4).
  • Uma equação para a reta normal ao gráfico de f no mesmo ponto.

Passo 2

Vamos verificar rapidamente que o ponto dado realmente pertence ao gráfico da função (sempre bom checar). Calcular f(3):
f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}+4=27-27+4=4.
Como f(3)=4, o ponto (3,4) está correto — é um ponto do gráfico.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente precisamos do coeficiente angular da tangente naquele ponto, que é a derivada de f avaliada em x=3.
Breve explicação da derivada (passo-a-passo didático):
  • A derivada f'(x) dá a inclinação (taxa de variação instantânea) da função em cada x.
  • Regra básica usada aqui: derivada de x^{n} é n x^{n-1} (regra do expoente, ou “power rule”).
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas, e derivada de constante é zero.
Agora, derivando termo a termo:
\text{Se } f(x)=x^{3}-3x^{2}+4,\quad\text{então}ã
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})-\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(4)=3x^{2}-6x+0.
Logo,
f'(x)=3x^{2}-6x.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=3 para obter a inclinação da tangente:
f'(3)=3\cdot3^{2}-6\cdot3=3\cdot9-18=27-18=9.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente em (3,4) é m_{\text{t}}=9.
Explicando em palavras: na vizinhança de x=3 a curva sobe com inclinação 9, então a reta que “toca” a curva aí tem essa inclinação.

Passo 5

Formar a equação da reta tangente usando a forma ponto- declive (ponto-slope):
\text{Forma: } y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo m=9 e o ponto (x_{0},y_{0})=(3,4):
y-4=9(x-3).
Agora simplificar para a forma y=mx+b:
y-4=9x-27 \quad\Rightarrow\quad y=9x-27+4=9x-23.

Passo 6

A reta normal é a reta perpendicular à tangente no ponto dado. Para retas no plano, se uma tem inclinação m, a perpendicular tem inclinação -\tfrac{1}{m} (produto dos coeficientes angulares é -1).
Como m_{\text{t}}=9, o coeficiente angular da normal é
m_{\text{n}}=-\frac{1}{9}.

Passo 7

Escrever a equação da reta normal com a forma ponto-declive e simplificar:
y-4=-\tfrac{1}{9}(x-3).
Simplificando para a forma y=mx+b:
y-4=-\tfrac{1}{9}x+\tfrac{3}{9}=-\tfrac{1}{9}x+\tfrac{1}{3},
y=-\tfrac{1}{9}x+\tfrac{1}{3}+4=-\tfrac{1}{9}x+\tfrac{1}{3}+\tfrac{12}{3}=-\tfrac{1}{9}x+\tfrac{13}{3}.
Verificação rápida: o produto das inclinações é 9\cdot\big(-\tfrac{1}{9}\big)=-1, portanto são realmente perpendiculares; ambas passam por (3,4) por construção.

Resposta

y=9x-23
y=-\tfrac{1}{9}x+\tfrac{13}{3}

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