Encontre uma equação para a reta tangente e para a reta normal ao gráfico da função
dada por:
no ponto ( 3,4 )
Passo 1
O enunciado dá a função
e um ponto do seu gráfico:
- Função:
. - Ponto:
.
O que é pedido:
- Uma equação para a reta tangente ao gráfico de
no ponto . - Uma equação para a reta normal ao gráfico de
no mesmo ponto.
Passo 2
Vamos verificar rapidamente que o ponto dado realmente pertence ao gráfico da função (sempre bom checar). Calcular
:
Como
, o ponto
está correto — é um ponto do gráfico.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente precisamos do coeficiente angular da tangente naquele ponto, que é a derivada de
avaliada em
.
Breve explicação da derivada (passo-a-passo didático):
- A derivada
dá a inclinação (taxa de variação instantânea) da função em cada . - Regra básica usada aqui: derivada de
é (regra do expoente, ou “power rule”). - Derivada de uma soma é a soma das derivadas, e derivada de constante é zero.
Agora, derivando termo a termo:
Logo,
Passo 4
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente em
é
.
Explicando em palavras: na vizinhança de
a curva sobe com inclinação
, então a reta que “toca” a curva aí tem essa inclinação.
Passo 5
Formar a equação da reta tangente usando a forma ponto- declive (ponto-slope):
Substituindo
e o ponto
:
Agora simplificar para a forma
:
Passo 6
A reta normal é a reta perpendicular à tangente no ponto dado. Para retas no plano, se uma tem inclinação
, a perpendicular tem inclinação
(produto dos coeficientes angulares é
).
Como
, o coeficiente angular da normal é
Passo 7
Escrever a equação da reta normal com a forma ponto-declive e simplificar:
Simplificando para a forma
:
Verificação rápida: o produto das inclinações é
, portanto são realmente perpendiculares; ambas passam por
por construção.