Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função y=2 x-(4 / raizx) no ponto P=(4,6). Plote em um mesmo gráfico (use o software “gnuplot”, “geogebra”, "wolfram"ou o “winplot”) a função e as retas encontradas.

Passo 1

Vamos começar resumindo: a função é y = 2x - 4raizx e o ponto dado é P=(4,6). O que precisamos é encontrar a reta tangente e a reta normal nesse ponto, usando derivada e equação de reta.

Passo 2

Para achar a derivada de y = 2x - 4x^-1/2, aplicamos a regra do poder. Derivando termo a termo:
y' = ddx(2x) - ddx(4x^-1/2) = 2 + 4cdot12x^-3/2 = 2 + 2x^-3/2

Passo 3

Agora, avaliamos a derivada em x=4 para ter a inclinação da tangente:
y'(4) = 2 + 2cdot4^-3/2 = 2 + 2/8 = 2 + tfrac14 = tfrac94

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com mt = tfrac94 e P=(4,6), a reta tangente é:
y - 6 = tfrac94(x - 4)
e, ao simplificar,
y = tfrac94x - 3

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é mn = -1/mt = -tfrac49. De novo em forma ponto-inclinação:
y - 6 = -tfrac49(x - 4)
o que dá, simplificando,
y = -tfrac49x + tfrac709

Passo 6

Para plotar no Geogebra (ou outro), basta inserir a função f(x)=2x-4/raizx e as duas retas y=tfrac94x-3 e y=-tfrac49x+tfrac709 no mesmo gráfico.

Resposta

A equação da reta tangente é y=tfrac94x-3 e a da reta normal é y=-tfrac49x+tfrac709.

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