Verifique quais pares de retas r e s são coincidentes e quais são paralelas, onde:
r=(6 t-8,2 t+4,-2 t+3) mid t in R e s: 3 x-39=y-1=-z.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3:
r=(6t-8,;2t+4,;-2t+3)mid tinR
e
3x-39=y-1=-z
O conteúdo é posição vetorial e equação simétrica de retas. Vamos extrair o vetor diretor e um ponto em cada reta para, primeiro, checar se são paralelas (vetores propor- cionais) e, depois, se coincidem (um ponto de uma está na outra).

Passo 2

Para r podemos escrever
(x,y,z)=(6t-8,;2t+4,;-2t+3)
Dessa forma um ponto em r é
Pr=(-8,,4,,3),
obtido com t=0, e o vetor diretor é
vec vr=(6,,2,,-2)

Passo 3

Para s note que a igualdade
3x-39=y-1=-z=lambda
implica
x=3lambda+1, y=lambda+1, z=-lambda
Logo um ponto em s (em lambda=0) é
Ps=(1,,1,,0),
e o vetor diretor é
vec vs=(3,,1,,-1)

Passo 4

Checamos paralelismo vendo se existe escalar k tal que vec vr=k,vec vs. De fato
2cdot(3,1,-1)=(6,2,-2)=vec vr,
logo vec vr=2,vec vs e as retas são paralelas.

Passo 5

Para ver se coincidem, basta verificar se um ponto de s está em r. Suponha (x,y,z)=(1,1,0) em r; entãovilamos
6t-8=1implies t=tfrac96=1,5,
mas então y=2cdot1,5+4=7neq1. Logo Psnotin r e as retas não coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas e não coincidentes.

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