Para quais valores de a a função f(x)=|x-5| é derivável?
Rpta: a neq 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de $ a $ a função $ f(x) = |x - 5| $ é derivável. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao estudo das derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto indica a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para que a função seja derivável em $ a $, ela precisa ser suave naquele ponto, ou seja, sem “quebra” ou “ponto agudo”.

Passo 3

Agora, olhemos para a função $ f(x) = |x - 5| $. O valor absoluto faz com que a função tenha um “v” no ponto onde o que está dentro do valor absoluto é zero, ou seja, quando $ x - 5 = 0 $. Isso ocorre em $ x = 5 $.

Passo 4

Nesse ponto $ x = 5 $, a função muda de direção abruptamente, passando de decrescente para crescente. Essa mudança abrupta causa um canto na curva, o que significa que não há uma única inclinação tangente nesse ponto. Portanto, a derivada não existe em $ x = 5 $.

Passo 5

Para todos os outros valores de $ a $ diferentes de 5, a função $ f(x) = |x - 5| $ é simplesmente uma reta com inclinação constante (−1 para $ x < 5 $ e +1 para $ x > 5 $). Nessas regiões, a função é suave e a derivada existe.

Resposta

A função $ f(x) = |x - 5| $ é derivável para todos os valores de $ a $ com exceção de $ a \neq 5 $.

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