Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado
x=t cos t, y=t sin t ; t=pi
y=pi x+pi^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto que corresponde ao parâmetro x = t cos t, y = t sin t . A curva está definida pelas equações paramétricas:
Para isso, precisamos entender um pouco de cálculo, especificamente como calcular a derivada em coordenadas paramétricas para achar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando x = pi cos pi = pi times (-1) = -pi . Basta substituir y = pi sin pi = pi times 0 = 0 por nas equações de e :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Em equações paramétricas, a inclinação m = dydx = dydtdxdt é dada por:
Então, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(t cos t) = cos t - t sin t
dydt = ddt(t sin t) = sin t + t cos t
Agora, substituímos dxdtg|t=pi = cos pi - pi sin pi = -1 - 0 = -1 nessas derivadas:
dydtg|t=pi = sin pi + pi cos pi = 0 - pi = -pi
m = -pi-1 = pi
Então, a inclinação é:

Passo 5

Agora que temos o ponto y - y1 = m (x - x1) e a inclinação y - 0 = pi (x - (-pi)) Rightarrow y = pi x + pi^2 , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = pi x + pi^2

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