Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto que corresponde ao parâmetro . A curva está definida pelas equações paramétricas:
Para isso, precisamos entender um pouco de cálculo, especificamente como calcular a derivada em coordenadas paramétricas para achar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Basta substituir por nas equações de e :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Em equações paramétricas, a inclinação é dada por:
Então, vamos calcular e .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos nessas derivadas:
m = -pi-1 = pi
Então, a inclinação é:
Passo 5
Agora que temos o ponto y - y1 = m (x - x1) e a inclinação y - 0 = pi (x - (-pi)) Rightarrow y = pi x + pi^2 , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação: