Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem
:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma integral tripla na ordem $ d x , d y , d z $:
O objetivo é reescrever essa integral na ordem $ d z , d y , d x $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Basicamente, precisamos identificar os limites de integração para cada variável quando mudamos a ordem dos integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o domínio de integração no espaço tridimensional. As variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ estão sendo integradas dentro de certos limites. Vamos analisar cada limite:
- $ z $ varia de 0 a 1.
- Para cada $ z $, $ y $ varia de 0 a $ 1 - z $.
- Para cada $ y $ e $ z $, $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{(z - 1)^2 - y^2} $.
Isso define uma região específica no espaço que estamos integrando.
Passo 3
Agora, queremos reescrever essa integral na ordem $ d z , d y , d x $. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para $ z $, $ y $ e $ x $.
Vamos começar identificando os limites para cada variável:
-
Para $ x $:
- $ x $ varia de 0 até $ \sqrt{(z - 1)^2 - y^2} $.
- Observando essa expressão, notamos que $ x $ está condicionado por $ z $ e $ y $.
-
Para $ y $:
- $ y $ varia de 0 até $ 1 - z $.
- Isso indica que $ y $ depende de $ z $.
-
Para $ z $:
- $ z $ varia de 0 a 1.
Mas queremos $ z $ como a primeira variável de integração. Portanto, precisamos expressar os limites de $ z $ em termos de $ x $ e $ y $.
Passo 4
Vamos encontrar os limites de $ z $ em função de $ x $ e $ y $.
Começando pela expressão de $ x $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando $ (z - 1)^2 $:
Tirando a raiz:
Como $ z $ varia de 0 a 1, $ z - 1 $ é negativo ou zero. Então:
Isolando $ z $:
Além disso, já temos que $ z $ está entre 0 e 1. Portanto, os limites de $ z $ são:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites para $ y $ em função de $ x $.
Sabemos que $ y $ varia de 0 até $ 1 - z $. Mas agora que $ z $ está em função de $ x $ e $ y $, precisamos reescrever isso.
A condição $ 1 - \sqrt{x^2 + y^2} \geq z \geq 0 $ implica que:
Isso significa que $ x^2 + y^2 \leq 1 $, o que é um círculo de raio 1 no plano $ xy $.
Portanto, para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{1 - x^2} $.
Passo 6
Por fim, os limites para $ x $ são de 0 a 1, já que originalmente $ z $ varia de 0 a 1 e $ x $ está limitado por $ \sqrt{(z - 1)^2 - y^2} $, que para $ z = 0 $, dá $ \sqrt{1 - y^2} $, e para $ y = 0 $, dá $ z $.
Passo 7
Agora, juntando tudo, a integral na ordem $ dz , dy , dx $ fica:
Resposta
A integral reescrita na ordem $ d z , d y , d x $ é: