Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem d z d y d x :
integral0^1 integral0^1-z integral0^raiz(z-1)^2-y^2 f(x, y, z) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma integral tripla na ordem $ d x , d y , d z $:
d x , d y , d z
O objetivo é reescrever essa integral na ordem $ d z , d y , d x $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Basicamente, precisamos identificar os limites de integração para cada variável quando mudamos a ordem dos integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o domínio de integração no espaço tridimensional. As variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ estão sendo integradas dentro de certos limites. Vamos analisar cada limite:
  • $ z $ varia de 0 a 1.
  • Para cada $ z $, $ y $ varia de 0 a $ 1 - z $.
  • Para cada $ y $ e $ z $, $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{(z - 1)^2 - y^2} $.
Isso define uma região específica no espaço que estamos integrando.

Passo 3

Agora, queremos reescrever essa integral na ordem $ d z , d y , d x $. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para $ z $, $ y $ e $ x $.
Vamos começar identificando os limites para cada variável:
  1. Para $ x $:
    • $ x $ varia de 0 até $ \sqrt{(z - 1)^2 - y^2} $.
    • Observando essa expressão, notamos que $ x $ está condicionado por $ z $ e $ y $.
  2. Para $ y $:
    • $ y $ varia de 0 até $ 1 - z $.
    • Isso indica que $ y $ depende de $ z $.
  3. Para $ z $:
    • $ z $ varia de 0 a 1.
Mas queremos $ z $ como a primeira variável de integração. Portanto, precisamos expressar os limites de $ z $ em termos de $ x $ e $ y $.

Passo 4

Vamos encontrar os limites de $ z $ em função de $ x $ e $ y $.
Começando pela expressão de $ x $:
z
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x
Isolando $ (z - 1)^2 $:
y
Tirando a raiz:
x
Como $ z $ varia de 0 a 1, $ z - 1 $ é negativo ou zero. Então:
x <= raiz(z - 1)^2 - y^2
Isolando $ z $:
x^2 <= (z - 1)^2 - y^2
Além disso, já temos que $ z $ está entre 0 e 1. Portanto, os limites de $ z $ são:
(z - 1)^2

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites para $ y $ em função de $ x $.
Sabemos que $ y $ varia de 0 até $ 1 - z $. Mas agora que $ z $ está em função de $ x $ e $ y $, precisamos reescrever isso.
A condição $ 1 - \sqrt{x^2 + y^2} \geq z \geq 0 $ implica que:
y
Isso significa que $ x^2 + y^2 \leq 1 $, o que é um círculo de raio 1 no plano $ xy $.
Portanto, para cada $ x $, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{1 - x^2} $.

Passo 6

Por fim, os limites para $ x $ são de 0 a 1, já que originalmente $ z $ varia de 0 a 1 e $ x $ está limitado por $ \sqrt{(z - 1)^2 - y^2} $, que para $ z = 0 $, dá $ \sqrt{1 - y^2} $, e para $ y = 0 $, dá $ z $.

Passo 7

Agora, juntando tudo, a integral na ordem $ dz , dy , dx $ fica:
dz , dy , dx

Resposta

A integral reescrita na ordem $ d z , d y , d x $ é:
d z , d y , d x

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