Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
x=sen 2 t+cos t, y=cos 2 t-sen t ; t=pi

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
x = sin(2t) + cos t, y = cos(2t) - sin t
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=pi. Vamos usar diferenciação paramétrica: calcular dxdt e dydt, avaliar tudo em t=pi e então montar a reta.

Passo 2

Calcular as derivadas em relação a t.
Derivando x:
dxdt = ddtl(sin(2t)r) + ddtl(cos tr) = 2cos(2t) - sin t
Derivando y:
dydt = ddtl(cos(2t)r) - ddtl(sin tr) = -2sin(2t) - cos t

Passo 3

Avaliar x, y, dxdt e dydt em t=pi.
Como sin(2pi)=0, cos(2pi)=1, sinpi=0, cospi=-1, temos:
x(pi) = 0 + (-1) = -1, y(pi) = 1 - 0 = 1,
dxdt|t=pi = 2cdot1 - 0 = 2, dydt|t=pi = -2cdot0 - (-1) = 1

Passo 4

Determinar o coeficiente angular da tangente:
dydx = dydtdxdt = 12

Passo 5

Montar a equação da reta tangente no ponto (-1,1) com coeficiente angular m=tfrac12. Usando a forma ponto-inclinação:
y - 1 = 12l(x + 1r)

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 1 = 12(x + 1)

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