Pergunta 7 0,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+5 y(x)=0, y(0)=0 e y^prime(0)=4.
2 e^x sen(2 x)
2 e^-x cos (2 x)
Nenhuma das outras alternativas.
2 e^x cos (2 x)
2 e^-x sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y''(x) + 2,y'(x) + 5,y(x) = 0, y(0)=0, y'(0)=4
Aqui o conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (1) montar a equação característica, (2) achar suas raízes, (3) escrever a solução geral e (4) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y(x)=e^r x:
r^2 + 2r + 5 = 0
Resolvendo-a:
r = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r=-1pm 2i, a solução geral é
y(x) = e^-xl(Ccos(2x) + Dsin(2x)r),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Aplicamos y(0)=0:
y(0)=e^0(Ccos0 + Dsin0)=Ccdot1 + Dcdot0=C=0
Logo C=0 e
y(x)=D,e^-xsin(2x)
Agora calculamos y'(x) e impomos y'(0)=4. Primeiro,
y'(x) = Dddxl(e^-xsin(2x)r) = D,e^-xl(2cos(2x) - sin(2x)r)
Em x=0:
y'(0)=Dl(2cos0 - sin0r)=2D = 4 ;Longrightarrow;D=2

Passo 5

Substituindo D=2 na expressão de y(x), obtemos
y(x)=2,e^-xsin(2x)

Resposta

y(x)=2,e^-xsin(2x)

Exercícios relacionados