Determine em cada item o conjunto em que a função é contínua:
f(x, z)=log ((x^2-3 x)(z+2))

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,z)=logl((x^2-3x)(z+2)r)
e pede em que conjunto de (x,z) essa função é contínua. O conteúdo envolvido é a continuidade da função logarítmica de duas variáveis, que exige que o argumento do log seja positivo.

Passo 2

Sabemos que a função log é contínua em todo ponto em que seu argumento é estritamente positivo. Portanto, f será contínua exatamente onde
(x^2-3x)(z+2)>0

Passo 3

Para resolver
(x^2-3x)(z+2)>0
vamos primeiro fatorar x^2-3x. Temos
x^2-3x = x(x-3)
Logo a desigualdade fica
x(x-3),(z+2)>0

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator:
  • x(x-3)>0 se, e somente se, x<0 ou x>3.
  • x(x-3)<0 se, e somente se, 0<x<3.
  • z+2>0 se, e somente se, z>-2.
  • z+2<0 se, e somente se, z<-2.

Passo 5

Para que o produto seja positivo, ou ambos fatores são positivos ou ambos negativos. Assim existem duas regiões:
  1. x(x-3)>0 e z+2>0, isto é (x<0 ou x>3)e z>-2
  2. x(x-3)<0 e z+2<0, isto é 0<x<3e z<-2

Resposta

A função f é contínua no conjunto
(x,z)mid (x<0 ou x>3) e z>-2 cup (x,z)mid 0<x<3 e z<-2

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