Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado. x=\cos \theta , \quad y=\operatorname{sen} \theta ; \quad \theta=0
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente ao parâmetro dado. Informações fornecidas:
A curva é dada por x=\cos\theta e y=\sin\theta.
O parâmetro onde queremos a tangente é \theta=0.
A pergunta é: “Qual é a equação da tangente à curva no ponto correspondente a \theta=0?”
Passo 2
Primeiro identifiquemos as coordenadas do ponto na curva quando \theta=0. Basta substituir \theta=0 nas expressões de x e y:
x(\,0\,)=\cos 0=1, \qquad y(\,0\,)=\sin 0=0.
Portanto o ponto na curva é (1,0).
Passo 3
Agora precisamos do declive (inclinação) da tangente naquele ponto. Para curvas parametrizadas por \theta usa-se a fórmula
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0. Explicando devagar: a derivada \dfrac{dy}{dx} mede como y muda quando x muda; para curvas parametrizadas, tanto x quanto y mudam com \theta, então dividimos as taxas \dfrac{dy}{d\theta} e \dfrac{dx}{d\theta}.
Passo 4
Calculemos \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta}:
Observação importante: aqui \dfrac{dx}{d\theta}\big|_{\theta=0}=0 enquanto \dfrac{dy}{d\theta}\big|_{\theta=0}=1\neq 0. Isso significa que a razão \dfrac{dy}{dx} é do tipo \dfrac{1}{0}, isto é, a inclinação é “infinita” — geometricamente a tangente é uma reta vertical. Sempre que \dfrac{dx}{d\theta}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\neq 0, a tangente é vertical e sua equação é x= constante (a coordenada x do ponto).
Para ter uma confirmação intuitiva, podemos aproximar a curva perto de \theta=0 usando séries: para \theta pequeno
Então \Delta x\approx -\tfrac{\theta^{2}}{2} e \Delta y\approx \theta, e a razão \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx \dfrac{\theta}{-\theta^{2}/2}=-\dfrac{2}{\theta} que tende a infinito em módulo quando \theta\to 0. Isso reforça que a tangente é vertical.
Passo 6
Como o ponto é (1,0) e a tangente é vertical, a equação da reta tangente é simplesmente a reta vertical que passa por x=1, i.e., x=1.