Resolva as equações abaixo:
(\operatorname{sen} y) x-3=(\operatorname{sen} y)+3 y \quad( resolver em x)

Passo 1

O enunciado dá a equação
(\operatorname{sen} y)\,x - 3 = (\operatorname{sen} y) + 3y
e pede para resolver em x.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é x.
  • A variável y aparece como parâmetro (não é pedido resolver em y).
  • Como o coeficiente de x é \operatorname{sen} y, é necessário considerar os dois casos possíveis: \operatorname{sen} y \neq 0 (pode dividir por \operatorname{sen} y) e \operatorname{sen} y = 0 (não se pode dividir por zero).

Passo 2

Primeiro fazemos operações algébricas básicas para isolar o termo que contém x. Somando 3 aos dois lados da equação obtemos
(\operatorname{sen} y)\,x = (\operatorname{sen} y) + 3y + 3.
Explicação didática: somar o mesmo número em ambos os lados preserva a igualdade. O objetivo é deixar a equação na forma “coeficiente vezes x = algo”, pronta para isolar x.

Passo 3

Agora tratamos o caso em que o coeficiente é diferente de zero, isto é, \operatorname{sen} y \neq 0. Nessa situação é permitido dividir ambos os lados da equação por \operatorname{sen} y. Dividir por zero é proibido porque não existe número que multiplicado por zero dê um valor não nulo (essa operação não é bem definida). Portanto, para \operatorname{sen} y \neq 0 temos
x = \frac{(\operatorname{sen} y) + 3y + 3}{\operatorname{sen} y}.

Passo 4

Simplificamos a expressão do passo anterior para ficar mais clara e fácil de usar na prova. Separe o numerador em duas parcelas:
x = \frac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{sen} y} + \frac{3y + 3}{\operatorname{sen} y}.
Como \dfrac{\operatorname{sen} y}{\operatorname{sen} y}=1 (válido porque \operatorname{sen} y\neq0), obtemos
x = 1 + \frac{3(y+1)}{\operatorname{sen} y}.
Isto é uma forma compacta e prática para usar na prova: primeiro verifique que \operatorname{sen} y\neq0, então use essa fórmula.

Passo 5

Agora tratamos o caso restante: \operatorname{sen} y = 0. Substituindo \operatorname{sen} y=0 na equação original, obtemos
0\cdot x - 3 = 0 + 3y \quad\Rightarrow\quad -3 = 3y.
Dessa igualdade segue y = -1. Mas precisamos que y também satisfaça \operatorname{sen} y = 0; os valores que anulariam o seno são y = k\pi com k\in\mathbb{Z}. Como -1 não é múltiplo inteiro de \pi, não existe y que simultaneamente satisfaça \operatorname{sen} y=0 e y=-1. Portanto, para todo y com \operatorname{sen} y=0 a equação não é satisfeita por nenhum x: não há solução em x nesses y.

Passo 6

Conclusão combinando os dois casos:
  • Se \operatorname{sen} y \neq 0, a solução em x é x = 1 + \dfrac{3(y+1)}{\operatorname{sen} y}.
  • Se \operatorname{sen} y = 0, não existe x que satisfaça a equação (nenhuma solução).

Resposta

x = 1 + \dfrac{3(y+1)}{\operatorname{sen} y},\quad \text{para } \operatorname{sen} y \neq 0.
Não há solução em x quando \operatorname{sen} y = 0.

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