Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p=2 :
\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
Utilize este fato para encontrar a soma de cada série.
(b) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a soma conhecida de Euler
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},
e pede para encontrar a soma da série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • Valor da soma da série harmônica de ordem 2: \zeta(2)=\dfrac{\pi^{2}}{6} (peguei este dado do enunciado).
  • A série a somar começa em n=3 e tem termo geral \dfrac{1}{(n+1)^{2}}.
    O que se pede: calcular exatamente o valor dessa soma infinita.

Passo 2

Fazer uma mudança de índice para simplificar a expressão. Defina m=n+1. Quando n=3 temos m=4; quando n\to\infty temos m\to\infty. Logo, podemos reescrever a soma como
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}=\sum_{m=4}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}.
Explicação curta sobre por que isso é permitido: mudar o índice por m=n+1 é uma bijeção entre os índices e não altera os termos nem a convergência da série — é uma técnica padrão para alinhar o início da soma com séries conhecidas.

Passo 3

Separar a série a partir de m=1 subtraindo os termos iniciais que faltam. Temos
\sum_{m=4}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2}}-\sum_{m=1}^{3}\frac{1}{m^{2}}.
Aqui usei explicitamente que retirar um número finito de termos de uma série convergente corresponde a subtrair esses termos. A primeira soma da direita é \zeta(2), conhecida.

Passo 4

Calcular os três primeiros termos que serão subtraídos:
\sum_{m=1}^{3}\frac{1}{m^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}.
Fazer a soma passo a passo usando denominador comum 36:
1=\frac{36}{36},\qquad \frac{1}{4}=\frac{9}{36},\qquad \frac{1}{9}=\frac{4}{36},
portanto
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{36+9+4}{36}=\frac{49}{36}.

Passo 5

Substituir \zeta(2)=\dfrac{\pi^{2}}{6} e o valor dos três primeiros termos na expressão do Passo 3:
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{49}{36}.
Se quiser deixar com denominador comum 36, multiplica-se \dfrac{\pi^{2}}{6} por \dfrac{6}{6}:
\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{6\pi^{2}}{36},
portanto outra forma equivalente é
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{6\pi^{2}-49}{36}.

Passo 6

(verificação numérica rápida, para criar confiança) Valores aproximados:
\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1{,}644934,\qquad \frac{49}{36}\approx 1{,}361111,
logo a diferença é aproximadamente 0{,}283823, consistente com o valor exato encontrado.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{6}-\dfrac{49}{36}

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