Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série
com
:
Utilize este fato para encontrar a soma de cada série.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a soma conhecida de Euler
e pede para encontrar a soma da série
Informações relevantes que temos:
- Valor da soma da série harmônica de ordem
: (peguei este dado do enunciado). - A série a somar começa em
e tem termo geral .
O que se pede: calcular exatamente o valor dessa soma infinita.
Passo 2
Fazer uma mudança de índice para simplificar a expressão. Defina
. Quando
temos
; quando
temos
. Logo, podemos reescrever a soma como
Explicação curta sobre por que isso é permitido: mudar o índice por
é uma bijeção entre os índices e não altera os termos nem a convergência da série — é uma técnica padrão para alinhar o início da soma com séries conhecidas.
Passo 3
Separar a série a partir de
subtraindo os termos iniciais que faltam. Temos
Aqui usei explicitamente que retirar um número finito de termos de uma série convergente corresponde a subtrair esses termos. A primeira soma da direita é
, conhecida.
Passo 4
Calcular os três primeiros termos que serão subtraídos:
Fazer a soma passo a passo usando denominador comum
:
portanto
Passo 5
Substituir
e o valor dos três primeiros termos na expressão do Passo 3:
Se quiser deixar com denominador comum
, multiplica-se
por
:
portanto outra forma equivalente é
Passo 6
(verificação numérica rápida, para criar confiança) Valores aproximados:
logo a diferença é aproximadamente
, consistente com o valor exato encontrado.