Encontre uma equação da tangente à curva no ponto fornecido utilizando dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando primeiramente o parâmetro.
x=5 cos t, y=5 sen t;
(3,4)

Passo 1

Beleza! O exercício pede para encontrar a equação da tangente à curva no ponto (3, 4) usando dois métodos diferentes. Vamos trabalhar com curvas paramétricas, onde as coordenadas x e y são dadas em função de um parâmetro t. Aqui, temos x = 5 cos t e y = 5 sin t. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas paramétricas e como encontrar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. Basicamente, a reta tangente toca a curva em apenas um ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar a equação da reta, precisamos do ponto de tangência e da inclinação.

Passo 3

Vamos identificar o valor de t que corresponde ao ponto (3, 4). Sabemos que:
x = 5 cos t = 3 y = 5 sin t = 4
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:
yx = 5 sin t5 cos t = tan t = 43
Portanto, t = arctan(43).

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada dydx usando o método (a): sem eliminar o parâmetro. Sabemos que:
dydx = dydtdxdt
Vamos calcular dxdt e dydt:
dxdt = -5 sin t dydt = 5 cos t
Então,
dydx = 5 cos t-5 sin t = -cot t
No ponto (3, 4), tan t = 43, então cot t = 34. Assim,
dydx = -34

Passo 5

Agora que temos a inclinação da tangente, podemos usar a forma da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde (x1, y1) é o ponto (3, 4) e m = -34. Substituindo:
y - 4 = -34(x - 3)
Simplificando:
y = -34x + 94 + 4 y = -34x + 254

Passo 6

Agora, vamos fazer o método (b): eliminando o parâmetro primeiro. Sabemos que:
x = 5 cos t y = 5 sin t
Podemos usar a identidade cos^2 t + sin^2 t = 1:
(x5)^2 + (y5)^2 = 1 x^225 + y^225 = 1 x^2 + y^2 = 25
Essa é a equação da circunferência com raio 5.

Passo 7

Para encontrar a tangente a essa circunferência no ponto (3, 4), usamos a fórmula da tangente a uma circunferência:
xx1 + yy1 = r^2
Onde (x1, y1) é o ponto de tangência e r é o raio. Substituindo:
3x + 4y = 25
Podemos rearranjar para a forma de y:
4y = -3x + 25 y = -34x + 254

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto (3, 4) é:
y = -34x + 254

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