Encontre uma equação da tangente à curva no ponto fornecido utilizando dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando primeiramente o parâmetro.
;
Passo 1
Beleza! O exercício pede para encontrar a equação da tangente à curva no ponto (3, 4) usando dois métodos diferentes. Vamos trabalhar com curvas paramétricas, onde as coordenadas
e
são dadas em função de um parâmetro
. Aqui, temos
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas paramétricas e como encontrar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. Basicamente, a reta tangente toca a curva em apenas um ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Para encontrar a equação da reta, precisamos do ponto de tangência e da inclinação.
Passo 3
Vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto (3, 4). Sabemos que:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada
usando o método (a): sem eliminar o parâmetro. Sabemos que:
Vamos calcular
e
:
Então,
No ponto (3, 4),
, então
. Assim,
Passo 5
Agora que temos a inclinação da tangente, podemos usar a forma da equação da reta:
Onde
é o ponto (3, 4) e
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos fazer o método (b): eliminando o parâmetro primeiro. Sabemos que:
Podemos usar a identidade
:
Essa é a equação da circunferência com raio 5.
Passo 7
Para encontrar a tangente a essa circunferência no ponto (3, 4), usamos a fórmula da tangente a uma circunferência:
Onde
é o ponto de tangência e
é o raio. Substituindo:
Podemos rearranjar para a forma de
:
Resposta
A equação da tangente à curva no ponto (3, 4) é: