Encontre uma equação da tangente à curva no ponto fornecido utilizando dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando primeiramente o parâmetro.
x=t^3, y=t^2 ; (1,1)

Passo 1

Temos a curva parametrizada por x=t^3, y=t^2 e queremos a reta tangente no ponto (1,1). O conteúdo é derivadas de curvas paramétricas, usando duas abordagens: (a) aplicação direta da fórmula dydx=dy/dtdx/dt e (b) eliminando o parâmetro para obter y como função de x e derivar normalmente.

Passo 2

Primeiro vamos usar o método (a): derivação paramétrica. Encontramos t tal que x=t^3=1, logo t=1. Depois calculamos dx/dt=3t^2 e dy/dt=2t, logo dydx=dy/dtdx/dt=2t3t^2=23t Em t=1 isso dá m=23. Usando a forma ponto-reta: y-1=23(x-1)

Passo 3

Agora o método (b): eliminamos o parâmetro. De x=t^3 temos t=x^1/3, então y=(x^1/3)^2=x^2/3 Derivando diretamente: y'=23x^-1/3 Em x=1 temos novamente y'=23, e obtém-se a mesma reta y-1=23(x-1)

Resposta

y-1=\frac{2}{3}(x-1)

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