Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
sem eliminar o parametro,
x = tg(theta) e y = sec(theta), P(1, raiz(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente à curva no ponto usando dois métodos diferentes. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo, especificamente derivadas e equações de retas tangentes. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações paramétricas e calcular derivadas para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Método 1: Sem eliminar o parâmetro
Primeiro, vamos trabalhar com as equações paramétricas dadas:
Nosso objetivo é encontrar a equação da tangente à curva no ponto .
Passo 2.1: Encontrar o valor de correspondente ao ponto
Sabemos que:
Passo 2.2: Calcular as derivadas de e em relação a
Passo 2.3: Calcular usando a regra da cadeia
Passo 2.4: Avaliar no ponto
Então, a inclinação da tangente é .
Passo 2.5: Usar a fórmula da equação da reta
A equação da reta tangente é dada por:
Onde e .
Substituindo:

Passo 3

Método 2: Utilizando derivadas paramétricas diretamente
Vamos usar as mesmas equações paramétricas:
Passo 3.1: Encontrar para o ponto
Como no método anterior, temos:
Passo 3.2: Calcular diretamente
Sabemos que:
Passo 3.3: Avaliar em
Então, a inclinação da tangente é .
Passo 3.4: Usar a fórmula da equação da reta
Usando a mesma fórmula:
Substituindo e :

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto é:

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