Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
sem eliminar o parametro,
sem eliminar o parametro,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente à curva no ponto
usando dois métodos diferentes. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo, especificamente derivadas e equações de retas tangentes. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações paramétricas e calcular derivadas para encontrar a inclinação da tangente.
Passo 2
Método 1: Sem eliminar o parâmetro
Primeiro, vamos trabalhar com as equações paramétricas dadas:
Nosso objetivo é encontrar a equação da tangente à curva no ponto
.
Passo 2.1: Encontrar o valor de
correspondente ao ponto
Sabemos que:
Passo 2.2: Calcular as derivadas de
e
em relação a
Passo 2.3: Calcular
usando a regra da cadeia
Passo 2.4: Avaliar
no ponto
Então, a inclinação da tangente é
.
Passo 2.5: Usar a fórmula da equação da reta
A equação da reta tangente é dada por:
Onde
e
.
Substituindo:
Passo 3
Método 2: Utilizando derivadas paramétricas diretamente
Vamos usar as mesmas equações paramétricas:
Passo 3.1: Encontrar
para o ponto
Como no método anterior, temos:
Passo 3.2: Calcular
diretamente
Sabemos que:
Passo 3.3: Avaliar
em
Então, a inclinação da tangente é
.
Passo 3.4: Usar a fórmula da equação da reta
Usando a mesma fórmula:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da tangente à curva no ponto
é: