Verifique o Teorema da Divergência de Gauss,
, para o campo
e a superfície
delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos verificar o Teorema da Divergência de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume delimitado por essa superfície. Aqui, temos o campo
e a superfície
que é limitada pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
. Para resolver, vamos calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de volume e ver se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o volume
delimitado pela superfície
. O volume
está definido pelo primeiro octante (onde
) e pelo plano
. Podemos expressar o volume usando limites de integração:
Para facilitar, podemos usar coordenadas cartesianas. Vamos integrar em ordem
,
,
:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
e , varia de a .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integremos em
:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Resolvido, isso resulta em uma expressão em termos de
.
Passo 6
Finalmente, integramos em
de
a
para obter o valor total da integral de volume:
Após realizar todas as integrações, obtemos o valor da integral de volume.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. Para isso, precisamos considerar cada uma das faces da superfície
separadamente:
- As faces nos planos coordenados (
, , ). - A face no plano
.
Para cada face, calculamos
, onde
é o vetor normal à superfície, e integramos sobre essa face.
Passo 8
Depois de calcular as integrais em todas as faces, somamos os resultados para obter o fluxo total através da superfície
.
Passo 9
Por fim, comparamos o valor obtido na integral de volume com o valor da integral de superfície. Segundo o Teorema da Divergência de Gauss, esses dois valores devem ser iguais.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, verificamos que: