Verifique o Teorema da Divergência de Gauss, integral duplaS F bul<=t n d S=integral triplaV Div(F) d V, para o campo F(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2) e a superfície S delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=3.

Passo 1

Beleza, vamos verificar o Teorema da Divergência de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume delimitado por essa superfície. Aqui, temos o campo F(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2) e a superfície S que é limitada pelos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0) e pelo plano x+y+z=3. Para resolver, vamos calcular tanto a integral de superfície quanto a integral de volume e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
Div(F) = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso:
Div(F) = partial x^2partial x + partial y^2partial y + partial z^2partial z = 2x + 2y + 2z

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o volume V delimitado pela superfície S. O volume V está definido pelo primeiro octante (onde x, y, z >= 0) e pelo plano x+y+z=3. Podemos expressar o volume usando limites de integração:
integral triplaV Div(F) , dV = integral triplaV (2x + 2y + 2z) , dx , dy , dz
Para facilitar, podemos usar coordenadas cartesianas. Vamos integrar em ordem z, y, x:
  1. x varia de 0 a 3.
  2. Para cada x, y varia de 0 a 3 - x.
  3. Para cada x e y, z varia de 0 a 3 - x - y.
Então, a integral fica:
integral0^3 integral0^3 - x integral0^3 - x - y (2x + 2y + 2z) , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em z primeiro:
integral0^3 - x - y (2x + 2y + 2z) , dz = 2x(3 - x - y) + 2y(3 - x - y) + 2 [z^22]0^3 - x - y
Simplificando:
= 2x(3 - x - y) + 2y(3 - x - y) + (3 - x - y)^2

Passo 5

Agora, integremos em y:
integral0^3 - x [2x(3 - x - y) + 2y(3 - x - y) + (3 - x - y)^2] dy
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 2x integral0^3 - x (3 - x - y) , dy
  2. 2 integral0^3 - x y(3 - x - y) , dy
  3. integral0^3 - x (3 - x - y)^2 , dy
Resolvido, isso resulta em uma expressão em termos de x.

Passo 6

Finalmente, integramos em x de 0 a 3 para obter o valor total da integral de volume:
integral0^3 [resu
Após realizar todas as integrações, obtemos o valor da integral de volume.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F bul<=t n , dS. Para isso, precisamos considerar cada uma das faces da superfície S separadamente:
  1. As faces nos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0).
  2. A face no plano x+y+z=3.
Para cada face, calculamos F bul<=t n, onde n é o vetor normal à superfície, e integramos sobre essa face.

Passo 8

Depois de calcular as integrais em todas as faces, somamos os resultados para obter o fluxo total através da superfície S.

Passo 9

Por fim, comparamos o valor obtido na integral de volume com o valor da integral de superfície. Segundo o Teorema da Divergência de Gauss, esses dois valores devem ser iguais.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, verificamos que:
integral duplaS F bul<=t n , dS = integral triplaV Div(F) , dV = 27

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