Calcule integral(2+y^2 y) d s, onde Ce ca metade superior do citculo unitario x^2+y^2=1. Dica: parametrização do semicirculo x(t)=cos t e y(t)=sen t, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral , onde é a metade superior do círculo unitário . Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, especificamente a parametrização de curvas. Precisaremos parametrizar a semicircunferência superior e encontrar a expressão para para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência superior usando a dica fornecida:
Essa parametrização descreve os pontos da metade superior do círculo unitário à medida que x(t) = cos t, y(t) = sen t, 0 <= t <= pi varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos determinar x'(t) = -sen t, y'(t) = cos t , a diferencial de arco. Para isso, calculamos as derivadas de ds = raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 , dt = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 , dt = raizsen^2 t + cos^2 t , dt = raiz1 , dt = dt e em relação a :
A diferencial de arco é dada por:

Passo 4

Substituindo a parametrização e integralC (2 + y^2 y ) , ds = integral0^pi (2 + (sen t)^2 cdot sen t ) , dt = integral0^pi (2 + sen^3 t ) , dt na integral original, temos:

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente:
integral0^pi 2 , dt = 2t |0^pi = 2pi
Agora, a segunda integral:
Para resolver essa, usamos a identidade :
Fazemos a substituição integral0^pi sen^3 t , dt , então :
integral sen^3 t , dt = integral sen t (1 - cos^2 t) , dt
Voltando para - integral (1 - u^2) , du = - ( u - u^33 ) + C = -u + u^33 + C :
- cos t + cos^3 t3 + C
Avaliando de [ - cos pi + cos^3 pi3 ] - [ -cos 0 + cos^3 03 ] = [1 - 13 ] - [-1 + 13 ] = 23 + 23 = 43 a :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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