Calcule , onde Ce ca metade superior do citculo unitario . Dica: parametrização do semicirculo e .
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral , onde é a metade superior do círculo unitário . Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha, especificamente a parametrização de curvas. Precisaremos parametrizar a semicircunferência superior e encontrar a expressão para para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência superior usando a dica fornecida:
Essa parametrização descreve os pontos da metade superior do círculo unitário à medida que varia de a .
Passo 3
Agora, precisamos determinar , a diferencial de arco. Para isso, calculamos as derivadas de e em relação a :
A diferencial de arco é dada por:
Passo 4
Substituindo a parametrização e na integral original, temos:
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente:
Agora, a segunda integral:
Para resolver essa, usamos a identidade :
Fazemos a substituição integral0^pi sen^3 t , dt , então :
integral sen^3 t , dt = integral sen t (1 - cos^2 t) , dt
Voltando para - integral (1 - u^2) , du = - ( u - u^33 ) + C = -u + u^33 + C :
- cos t + cos^3 t3 + C
Avaliando de [ - cos pi + cos^3 pi3 ] - [ -cos 0 + cos^3 03 ] = [1 - 13 ] - [-1 + 13 ] = 23 + 23 = 43 a :