lim (x, y) (1, infty) x y-y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve duas variáveis, e , e queremos saber o que acontece com a expressão quando se aproxima de 1 e vai para o infinito. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão:
xy - y(x - 1)^2 + y^2
No numerador, dá pra fatorar o y(x - 1) , ficando:
y(x - 1)(x - 1)^2 + y^2
Então, a fração fica:

Passo 3

Agora, como y(x - 1)(x - 1)^2 + y^2 = (x - 1)(x - 1)^2y + y está indo para o infinito, vamos simplificar dividindo tanto o numerador quanto o denominador por . Isso ajuda a entender como a expressão se comporta quando cresce muito. Fazendo isso, temos:
Perceba que tende a zero quando cresce, porque o denominador está aumentando sem parar.

Passo 4

Então, agora a expressão simplificada fica:
(x - 1)0 + y = (x - 1)y
Como está indo para o infinito, vai para zero.

Resposta

O limite é igual a .

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