Encontre uma equação da tangente às curvas nos pontos dados. (vale 1,5 pontos cada item)
y=x^2-1x^2+1,(0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $ no ponto $ (0, -1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada $ y’ $ é:
y = x^2 - 1x^2 + 1
No nosso caso, $ u = x^{2} - 1 $ e $ v = x^{2} + 1 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
u
v

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
y' = u'v - uv'v^2 = (2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)(x^2 + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
(2x)(x^2 + 1) = 2x^3 + 2x
(x^2 - 1)(2x) = 2x^3 - 2x
2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x) = 2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x = 4x
Então, a derivada fica:
y' = 4x(x^2 + 1)^2

Passo 5

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $. Substituímos $ x = 0 $ na derivada:
x = 0
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é 0.

Passo 6

Com a inclinação $ m = 0 $ e o ponto $ (0, -1) $, podemos usar a forma da equação da reta:
m = 0
Substituindo os valores:
(0, -1)

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto $ (0, -1) $ é $ y = -1 $.

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