Encontre uma equação da tangente às curvas nos pontos dados. (vale 1,5 pontos cada item)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $ no ponto $ (0, -1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada $ y’ $ é:
No nosso caso, $ u = x^{2} - 1 $ e $ v = x^{2} + 1 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $. Substituímos $ x = 0 $ na derivada:
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é 0.
Passo 6
Com a inclinação $ m = 0 $ e o ponto $ (0, -1) $, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ (0, -1) $ é $ y = -1 $.